《2025年暑假作业八年级数学人教版教育科学出版社》

6. 已知一次函数$ y = kx + b $,$ y 随着 x $的增大而减小,且$ kb ＜ 0 $,则在直角坐标系内它的大致图像是( )。

答案： 【解析】：因为一次函数$y = kx + b$中$y$随着$x$的增大而减小，所以$k ＜ 0$。又因为$kb ＜ 0$，$k$为负数，那么$b$必须为正数，即函数与$y$轴的交点在正半轴。一次函数$k ＜ 0$时图像从左到右下降，$b ＞ 0$时交$y$轴正半轴，符合条件的图像是选项A。
【答案】：A

7. 在一次函数$ y = (2 - k)x + 1 $中,$ y 随 x $的增大而增大,则$ k $的取值范围为______。

答案： 【解析】：对于一次函数$y = mx + b$（$m$、$b$为常数，$m\neq0$），当$m＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。在函数$y=(2 - k)x + 1$中，斜率$m = 2 - k$。因为$y$随$x$的增大而增大，所以$2 - k＞0$，解得$k＜2$。
【答案】：$k ＜ 2$

8. 已知正比例函数$ y = kx 的图像经过点 A(-1,2) $,则正比例函数的解析式为______。

答案： 【解析】：因为正比例函数$y = kx$的图像经过点$A(-1,2)$，所以将点$A$的坐标代入函数解析式中，可得$2 = k×(-1)$，解得$k=-2$。因此，该正比例函数的解析式为$y = -2x$。
【答案】：$y = -2x$

9. 写出一个图像经过第一、第三象限的正比例函数解析式：______。

答案： 【解析】：
正比例函数的一般形式为 $y = kx$，其中 $k$ 是比例系数。
因为图像需要经过第一、第三象限，根据正比例函数的性质，当 $k ＞ 0$ 时，图像会经过第一、第三象限。
因此，需要选择一个 $k ＞ 0$ 的值。
最简单的选择是 $k = 1$，此时正比例函数解析式为 $y = x$。
当然，$k$ 也可以取其他正数，如 $2, 3, 0.5,$ 等，只要保证 $k ＞ 0$ 即可。
【答案】：$y = x$（答案不唯一，$k ＞ 0$ 的其他值也可）

10. 一次函数$ y = -2x + 4 的图像与 x $轴的交点坐标是______,与$ y $轴的交点坐标是______。

答案： 【解析】：要求一次函数$y = -2x + 4$与$x$轴的交点坐标，因为与$x$轴相交时$y = 0$，所以令$y = 0$，则有$0=-2x + 4$，解方程可得$2x=4$，$x = 2$，所以与$x$轴的交点坐标是$(2,0)$。
要求与$y$轴的交点坐标，因为与$y$轴相交时$x = 0$，将$x = 0$代入函数可得$y=-2×0 + 4=4$，所以与$y$轴的交点坐标是$(0,4)$。
【答案】：(2,0)，(0,4)

11. 如图所示,直线$ l 为一次函数 y = kx + b $的图像,则$ b = $______,$ k = $______。

答案： 【解析】：
由图像可知直线$l$经过点$(0,6)$和点$(4,0)$。
将点$(0,6)$代入$y = kx + b$，可得：
$6 = k×0 + b$，解得$b = 6$。
将点$(4,0)$和$b = 6$代入$y = kx + b$，可得：
$0 = 4k + 6$，
移项可得$4k = -6$，
解得$k = -\frac{3}{2}$。
【答案】：$b = 6$，$k = -\frac{3}{2}$

12. 为保护学生视力,课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的。研究表明：假设课桌的高度为$ y \ cm $,椅子的高度为$ x \ cm $,则$ y 应是 x $的一次函数,下表列出两套符合条件的课桌椅的高度。
| |第一套|第二套|
|椅子高度$ x(cm) $|40|37|
|课桌高度$ y(cm) $|75|70|
(1)请确定$ y 与 x $的函数关系式。
(2)现有一把高$ 39 \ cm 的椅子和一张高 78.2 \ cm $的课桌,它们是否配套? 为什么?

答案： 【解析】：
(1) 设$y$与$x$的关系为一次函数，即$y = kx + b$。
根据表格中的数据，可以列出以下方程组：
$\begin{cases}75 = 40k + b \\70 = 37k + b\end{cases}$
解这个方程组，首先用第一个方程减去第二个方程得到：
$75 - 70 = 40k - 37k$
$5 = 3k$
$k = \frac{5}{3}$
将$k = \frac{5}{3}$代入第一个方程$75 = 40k + b$，解得：
$75 = 40 × \frac{5}{3} + b$
$75 = \frac{200}{3} + b$
$b = 75 - \frac{200}{3}$
$b = \frac{225}{3} - \frac{200}{3}$
$b = \frac{25}{3}$
所以，$y$与$x$的函数关系式为：
$y = \frac{5}{3}x + \frac{25}{3}$
为了更方便使用，可以将其化为整数系数的形式：
$y = \frac{5}{3}(x + 5)$
即：
$y = \frac{5x + 25}{3}$
(2) 将$x = 39$代入上面求得的函数关系式$y = \frac{5x + 25}{3}$中，得到：
$y = \frac{5 × 39 + 25}{3}$
$y = \frac{195 + 25}{3}$
$y = \frac{220}{3}$
$y \approx 73.33$
由于$73.33 \neq 78.2$，所以一把高$39cm$的椅子和一张高$78.2cm$的课桌不配套。
【答案】：
(1)$y = \frac{5x + 25}{3}$
(2)不配套，因为当$x = 39$时，按设计$y$应为约$73.33$，而实际课桌高度为$78.2cm$，所以不配套。