《2025年暑假作业八年级数学人教版教育科学出版社》

25. 如图所示,长方形内有两个正方形,面积分别为4和2,求阴影部分的面积。

答案： 【解析】：
根据正方形面积公式$S=a^2$（$S$为面积，$a$为边长），已知一个正方形面积为$4$，则其边长为$\sqrt{4}=2$；另一个正方形面积为$2$，则其边长为$\sqrt{2}$。
从图中可知长方形的长为大正方形边长与小正方形边长之和，即$2 + \sqrt{2}$，长方形的宽为大正方形的边长$2$。
那么长方形的面积为长乘宽，即$2×(2 + \sqrt{2})=4 + 2\sqrt{2}$。
两个正方形的面积之和为$4 + 2 = 6$。
阴影部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积之和，即$(4 + 2\sqrt{2})-6=2\sqrt{2}-2$。
【答案】：$2\sqrt{2}-2$

1. 计算:$(2\sqrt{5}+1)(\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+…+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}})$。

答案： 【解析】：首先，观察原式中的括号部分，是一系列形如$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$的分式相加，从$n=1$到$n=99$。对于这类分母含有根式的分式，可以通过分母有理化进行化简。
对$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，得到：
$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} = \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})} = \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(n+1)-n} = \sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
所以原式括号内的和为：
$\begin{aligned}&\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\\=&(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\cdots+(\sqrt{100}-\sqrt{99})\end{aligned}$
可以发现这是一个逐项抵消的数列（裂项相消），中间项全部消去，只剩下首项的$-1$和末项的$\sqrt{100}$，即：
$\sqrt{100}-1 = 10 - 1 = 9$
此时原式化简为$(2\sqrt{5}+1) × 9$，计算可得：
$9×(2\sqrt{5}+1) = 18\sqrt{5} + 9$
【答案】：$18\sqrt{5}+9$

2. 已知$4x^{2}+y^{2}-4x-6y+10= 0$,求$\frac{2}{3}x\sqrt{9x}-5x\sqrt{\frac{y}{x}}$的值。

答案： 【解析】：
首先，我们将给定的方程 $4x^{2} + y^{2} - 4x - 6y + 10 = 0$ 化为标准形式。
通过完全平方公式，我们可以得到：
$(2x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 0$
由于平方项非负，上述方程要成立，必须有 $2x - 1 = 0$ 和 $y - 3 = 0$。
解得 $x = \frac{1}{2}$，$y = 3$。
接下来，我们将 $x$ 和 $y$ 的值代入 $\frac{2}{3}x\sqrt{9x} - 5x\sqrt{\frac{y}{x}}$ 中进行计算。
$\frac{2}{3}x\sqrt{9x} - 5x\sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{2}{3} × \frac{1}{2} × \sqrt{9 × \frac{1}{2}} - 5 × \frac{1}{2} × \sqrt{\frac{3}{\frac{1}{2}}}$
$= \frac{1}{3} × \frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{5}{2} × \sqrt{6}$
$= \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{5\sqrt{6}}{2}$
【答案】：$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{5\sqrt{6}}{2}$