《2025年暑假作业八年级数学人教版教育科学出版社》

21. 计算:$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+2}+…+\frac{1}{3+\sqrt{10}}$。

答案： 【解析】：
首先，我们观察每一项的形式，每一项都可以表示为两个相邻的开方数之和的形式，即$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$。
我们可以利用分数的有理化方法，将每一项进行变形。
对于形如$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$的项，我们可以将其转化为：
$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} = \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})} = \sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
应用上述方法，原式可以转化为：
$(\sqrt{2}-1) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (2-\sqrt{3}) + \ldots + (\sqrt{10}-3)$
观察上述式子，我们可以发现，从第二项开始，每一项都有一个正项和一个负项，这些项会相互抵消，留下第一个负项和最后一个正项。
因此，上述式子可以简化为：
$\sqrt{10}-1$
【答案】：
$\sqrt{10}-1$