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6. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$AD⊥BC$,$M为AD$的中点,延长$CM交AB于点P$,$DN// CP交AB于点N$,若$AB = 6$,则$AP$的长为( )。
A.1
B.2.5
C.2
D.3
A.1
B.2.5
C.2
D.3
答案：
【解析】：因为在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AD \perp BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，所以$D$为$BC$的中点。
设$AP = x$，因为$AB = 6$，所以$PB = 6 - x$。
由于$DN // CP$，且$D$是$BC$的中点，根据平行线分线段成比例定理，可得$N$为$BP$的中点，因此$BN = NP = \frac{PB}{2} = \frac{6 - x}{2}$，那么$AN = AP + PN = x + \frac{6 - x}{2} = \frac{x + 6}{2}$。
又因为$M$是$AD$的中点，且$DN // PM$（因为$DN // CP$，$PM$是$CP$的一部分），所以在$\triangle ADN$中，$PM$是中位线，故$AP = PN$。
即$x = \frac{6 - x}{2}$，解方程可得：
$2x = 6 - x$
$3x = 6$
$x = 2$
所以$AP$的长为$2$。
【答案】：C
设$AP = x$，因为$AB = 6$，所以$PB = 6 - x$。
由于$DN // CP$，且$D$是$BC$的中点，根据平行线分线段成比例定理，可得$N$为$BP$的中点，因此$BN = NP = \frac{PB}{2} = \frac{6 - x}{2}$，那么$AN = AP + PN = x + \frac{6 - x}{2} = \frac{x + 6}{2}$。
又因为$M$是$AD$的中点，且$DN // PM$（因为$DN // CP$，$PM$是$CP$的一部分），所以在$\triangle ADN$中，$PM$是中位线，故$AP = PN$。
即$x = \frac{6 - x}{2}$，解方程可得：
$2x = 6 - x$
$3x = 6$
$x = 2$
所以$AP$的长为$2$。
【答案】：C
7. 如图所示,$R$、$P分别是四边形ABCD的边DC$、$BC$上的点,$E$、$F分别是AP$、$RP$的中点,当点$P在BC上从点B到点C移动而点R$不动时,下列结论正确的是( )。
A.线段$EF$的长逐渐增大
B.线段$EF$的长逐渐减小
C.线段$EF$的长不变
D.线段$EF$的长不能确定
A.线段$EF$的长逐渐增大
B.线段$EF$的长逐渐减小
C.线段$EF$的长不变
D.线段$EF$的长不能确定
答案：
【解析】：
因为$R$不动，所以$AR$长度不变。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
在$\triangle PAR$中，$E$、$F$分别是$AP$、$RP$的中点，所以$EF$是$\triangle PAR$的中位线，则$EF=\frac{1}{2}AR$。
由于$AR$长度不变，所以$EF$的长度也不变。
【答案】：C
因为$R$不动，所以$AR$长度不变。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
在$\triangle PAR$中，$E$、$F$分别是$AP$、$RP$的中点，所以$EF$是$\triangle PAR$的中位线，则$EF=\frac{1}{2}AR$。
由于$AR$长度不变，所以$EF$的长度也不变。
【答案】：C
8. 已知三角形的周长为24,则该三角形三条中位线的和为____。
答案：
【解析】：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。设三角形的三条边分别为$a$、$b$、$c$，则三条中位线的长分别为$\frac{a}{2}$、$\frac{b}{2}$、$\frac{c}{2}$。已知三角形的周长为$24$，即$a + b + c = 24$，所以三条中位线的和为$\frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2} = \frac{a + b + c}{2} = \frac{24}{2} = 12$。
【答案】：12
【答案】：12
9. 直角三角形斜边上的中线长是6,则它的两条直角边中点的连线长是____。
答案：
【解析】：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。已知斜边上的中线长是6，所以斜边的长为$2×6 = 12$。
直角三角形两条直角边中点的连线是三角形的中位线，根据三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。这里的第三边就是直角三角形的斜边，所以两条直角边中点的连线长等于斜边长度的一半，即$12÷2 = 6$。
【答案】：6
直角三角形两条直角边中点的连线是三角形的中位线，根据三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。这里的第三边就是直角三角形的斜边，所以两条直角边中点的连线长等于斜边长度的一半，即$12÷2 = 6$。
【答案】：6
10. 如图所示,$D$、$E$、$F分别是\triangle ABC$中各边的中点,图中的平行四边形有____个；与$\triangle DEF$全等的三角形有____个；当$AB = AC$时,四边形$AEDF$是____形；当$∠A = 90^{\circ}$时,四边形$AEDF$是____形；当____时,四边形$AEDF$是正方形。
答案：
【解析】：
在$\triangle ABC$中，已知$D$、$E$、$F$分别是各边的中点，
根据中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边边长的一半，
可得：$EF// AB$，$EF=\frac{1}{2}AB=AD=BD$；
$DE// AC$，$DE=\frac{1}{2}AC=AF=FC$；
$DF// BC$，$DF=\frac{1}{2}BC=BD=DC$。
由上述性质可得：
图中的平行四边形：
四边形$ADFE$、$BDEF$、$CDFE$都是平行四边形，共有$3$个。
与$\triangle DEF$全等的三角形：
由于$D$、$E$、$F$分别是各边的中点，
所以$\triangle DEF$的三条边分别平行且等于$\triangle ABC$三边的一半。
因此，与$\triangle DEF$全等的三角形有$\triangle BDF$和$\triangle CED$，共$2$个，
再加上$\triangle AEF$，共$3$个与$\triangle DEF$全等的三角形（因为这三个三角形都是由三角形的中位线构成的，它们都与$\triangle DEF$有相同的边长和角度）。
当$AB = AC$时：
由于$D$、$E$、$F$是中点，所以$AE = AF$，
又因为$EF// AB$，
所以四边形$AEDF$是菱形（四边相等且对边平行）。
当$\angle A = 90^{\circ}$时：
由于$EF// AB$，
所以$EF\perp AC$，
又因为$DE// AC$，
所以四边形$AEDF$是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形，这里$EF// AB$且$DE// AC$，$\angle A = 90^{\circ}$，所以$AEDF$是矩形）。
当$AB = AC$且$\angle A = 90^{\circ}$时：
结合前面的分析，四边形$AEDF$既是菱形又是矩形，
所以它是正方形（一组邻边相等的矩形是菱形，有一个角是直角的菱形是矩形，既是矩形又是菱形的四边形是正方形）。
【答案】：
3；3；菱；矩；$AB = AC$且$\angle A = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABC$中，已知$D$、$E$、$F$分别是各边的中点，
根据中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边边长的一半，
可得：$EF// AB$，$EF=\frac{1}{2}AB=AD=BD$；
$DE// AC$，$DE=\frac{1}{2}AC=AF=FC$；
$DF// BC$，$DF=\frac{1}{2}BC=BD=DC$。
由上述性质可得：
图中的平行四边形：
四边形$ADFE$、$BDEF$、$CDFE$都是平行四边形，共有$3$个。
与$\triangle DEF$全等的三角形：
由于$D$、$E$、$F$分别是各边的中点，
所以$\triangle DEF$的三条边分别平行且等于$\triangle ABC$三边的一半。
因此，与$\triangle DEF$全等的三角形有$\triangle BDF$和$\triangle CED$，共$2$个，
再加上$\triangle AEF$，共$3$个与$\triangle DEF$全等的三角形（因为这三个三角形都是由三角形的中位线构成的，它们都与$\triangle DEF$有相同的边长和角度）。
当$AB = AC$时：
由于$D$、$E$、$F$是中点，所以$AE = AF$，
又因为$EF// AB$，
所以四边形$AEDF$是菱形（四边相等且对边平行）。
当$\angle A = 90^{\circ}$时：
由于$EF// AB$，
所以$EF\perp AC$，
又因为$DE// AC$，
所以四边形$AEDF$是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形，这里$EF// AB$且$DE// AC$，$\angle A = 90^{\circ}$，所以$AEDF$是矩形）。
当$AB = AC$且$\angle A = 90^{\circ}$时：
结合前面的分析，四边形$AEDF$既是菱形又是矩形，
所以它是正方形（一组邻边相等的矩形是菱形，有一个角是直角的菱形是矩形，既是矩形又是菱形的四边形是正方形）。
【答案】：
3；3；菱；矩；$AB = AC$且$\angle A = 90^{\circ}$。
11. 如图所示,$P为□ ABCD边AD$上一点,$E$、$F分别为PB$、$PC$的中点,$\triangle PEF$、$\triangle PDC$、$\triangle PAB的面积分别为S$、$S_{1}$、$S_{2}$。若$S = 2$,则$S_{1} + S_{2} = $____。
答案：
【解析】：在平行四边形 $ABCD$ 中，$P$ 是边 $AD$ 上一点。$E$、$F$ 分别为 $PB$、$PC$ 的中点，所以 $EF$ 是 $\triangle PBC$ 的中位线。根据中位线性质，$EF // BC$ 且 $EF = \frac{1}{2}BC$。
$\triangle PEF$ 与 $\triangle PBC$ 相似，相似比为 $\frac{1}{2}$，因此面积比为 $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$。已知 $S_{\triangle PEF} = S = 2$，则 $S_{\triangle PBC} = 4S = 4 × 2 = 8$。
因为平行四边形 $ABCD$ 的面积等于 $\triangle PAB$、$\triangle PDC$ 和 $\triangle PBC$ 的面积之和，且 $\triangle PAB$ 与 $\triangle PDC$ 的面积之和等于平行四边形面积减去 $\triangle PBC$ 的面积。又因为平行四边形中，$\triangle PBC$ 的面积是平行四边形面积的一半（以 $BC$ 为底，高与平行四边形相同），所以 $S_1 + S_2 = S_{\triangle PBC} = 8$。
【答案】：8
$\triangle PEF$ 与 $\triangle PBC$ 相似，相似比为 $\frac{1}{2}$，因此面积比为 $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$。已知 $S_{\triangle PEF} = S = 2$，则 $S_{\triangle PBC} = 4S = 4 × 2 = 8$。
因为平行四边形 $ABCD$ 的面积等于 $\triangle PAB$、$\triangle PDC$ 和 $\triangle PBC$ 的面积之和，且 $\triangle PAB$ 与 $\triangle PDC$ 的面积之和等于平行四边形面积减去 $\triangle PBC$ 的面积。又因为平行四边形中，$\triangle PBC$ 的面积是平行四边形面积的一半（以 $BC$ 为底，高与平行四边形相同），所以 $S_1 + S_2 = S_{\triangle PBC} = 8$。
【答案】：8
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