《2025年暑假作业八年级数学人教版教育科学出版社》

13. 一次函数 $ y = 2x + b $ 与两坐标轴围成的三角形面积为 $ 4 $,则 $ b = $______。

答案： 【解析】：
1. 首先，找出一次函数 $y = 2x + b$ 与坐标轴的交点。
当 $x = 0$ 时，$y = b$，即与y轴的交点为 $(0, b)$。
当 $y = 0$ 时，$2x + b = 0$，解得 $x = -\frac{b}{2}$，即与x轴的交点为 $\left( -\frac{b}{2}, 0 \right)$。
2. 接着，计算这两个交点与原点围成的三角形的面积。
三角形的底为 $|b|$（y轴上的长度），高为 $\left| -\frac{b}{2} \right| = \frac{|b|}{2}$（x轴上的长度）。
三角形面积 $S = \frac{1}{2} × \text{底} × \text{高} = \frac{1}{2} × |b| × \frac{|b|}{2} = \frac{b^2}{4}$。
3. 根据题目条件，三角形面积为4，即 $\frac{b^2}{4} = 4$。
解这个方程，得到 $b^2 = 16$。
进一步解得 $b = \pm 4$。
【答案】：
$\pm 4$

14. 如图所示,直线 $ y = kx + b $ 经过 $ A(3,1) $、$ B(6,0) $ 两点,则不等式组 $ 0 ＜ kx + b ＜ \frac{1}{3}x $ 的解集为______。

答案： 【解析】：
由题意，直线 $y = kx + b$ 经过点 $A(3,1)$ 和 $B(6,0)$，
则有方程组：
$\begin{cases}1 = 3k + b,\\0 = 6k + b.\end{cases}$
解此方程组得：
从第二个方程中，我们可以得到 $b = -6k$，
将这个结果代入第一个方程，得到：
$1 = 3k - 6k$，
$1 = -3k$，
$k = -\frac{1}{3}$，
将 $k = -\frac{1}{3}$ 代入 $b = -6k$，得到：
$b = -6(-\frac{1}{3})$，
$b = 2$，
因此，直线的方程为：
$y = -\frac{1}{3}x + 2$，
接下来，我们需要解不等式组：
$0 ＜ -\frac{1}{3}x + 2 ＜ \frac{1}{3}x$，
解第一个不等式 $0 ＜ -\frac{1}{3}x + 2$，得：
$\frac{1}{3}x ＜ 2$，
$x ＜ 6$，
解第二个不等式 $-\frac{1}{3}x + 2 ＜ \frac{1}{3}x$，得：
$2 ＜ \frac{2}{3}x$，
$x ＞ 3$，
综合两个不等式的解，我们得到不等式组的解集为：
$3 ＜ x ＜ 6$。
【答案】：$3 ＜ x ＜ 6$

15. 已知一次函数的图像经过点 $ (2,3) $ 和点 $ (-1,4) $,求这个一次函数的解析式。

答案： 【解析】：
设一次函数的解析式为 $y = kx + b$，其中 $k$ 和 $b$ 是常数，$k \neq 0$。
因为函数图像经过点 $(2,3)$ 和点 $(-1,4)$，可以将这两点的坐标代入函数解析式，得到两个方程：
$\begin{cases}3 = 2k + b, \\4 = -k + b.\end{cases}$
接下来解这个二元一次方程组。
从第一个方程中，可以得到 $b = 3 - 2k$。
将这个表达式代入第二个方程，得到：
$4 = -k + (3 - 2k)$，
$4 = 3 - 3k$，
$3k = -1$，
$k = -\frac{1}{3}$。
将 $k = -\frac{1}{3}$ 代入 $b = 3 - 2k$，得到：
$b = 3 - 2 × \left(-\frac{1}{3}\right)$，
$b = 3 + \frac{2}{3}$，
$b = \frac{11}{3}$。
因此，这个一次函数的解析式为 $y = -\frac{1}{3}x + \frac{11}{3}$。
【答案】：
$y = -\frac{1}{3}x + \frac{11}{3}$

16. 直线 $ y = kx + b $ 与直线 $ y = 5 - 4x $ 平行,且与直线 $ y = -3(x - 6) $ 相交,交点在 $ y $ 轴上,求此直线的解析式。

答案： 【解析】：
1. 首先，由于直线 $y = kx + b$ 与直线 $y = 5 - 4x$ 平行，平行的条件是两直线的斜率相等。因此，$k = -4$。
2. 其次，直线 $y = kx + b$ 与直线 $y = -3(x - 6)$ 相交，且交点在 $y$ 轴上。直线 $y = -3(x - 6)$ 可以化简为 $y = -3x + 18$。
3. 交点在 $y$ 轴上，即 $x = 0$。将 $x = 0$ 代入 $y = -3x + 18$，得到 $y = 18$。因此，交点坐标为 $(0, 18)$。
4. 将这个交点坐标代入 $y = kx + b$，即 $18 = -4 × 0 + b$，解得 $b = 18$。
5. 综上，直线的解析式为 $y = -4x + 18$。
【答案】：
$y = -4x + 18$

17. 已知 $ y $ 是 $ x $ 的正比例函数,并且当 $ x = 3 $ 时,$ y = -6 $,如果点 $ A(a,a + 3) $ 是它的图像上的点,求平行该图像的一次函数 $ y = kx + a $ 的解析式。

答案： 【解析】：
首先，由于 $y$ 是 $x$ 的正比例函数，可以设 $y = kx$。
根据题目条件，当 $x = 3$ 时，$y = -6$，代入得：
$-6 = 3k$，
解得：
$k = -2$，
因此，正比例函数的解析式为 $y = -2x$。
接下来，由于点 $A(a, a+3)$ 在该正比例函数的图像上，代入 $y = -2x$ 得：
$a + 3 = -2a$，
解这个方程，得到：
$3a = -3 \implies a = -1$，
最后，题目要求找到平行于该图像的一次函数 $y = kx + a$ 的解析式。
由于平行线的斜率相同，所以 $k = -2$，并且已知 $a = -1$。
因此，所求的一次函数解析式为 $y = -2x - 1$。
【答案】：$y = -2x - 1$。