《2025年暑假作业八年级数学人教版教育科学出版社》

16. 如图所示,正方形$ABCD$中,$E与F分别是AD$、$BC$上一点,在①$AE = CF$,②$BE // DF$,③$\angle 1 = \angle 2$中,请选择其中一个条件,证明：$BE = DF$。
(1) 你选择的条件是____(只需填写序号)；
(2) 证明。

答案： 【解析】：以选择条件①为例进行证明（其他条件证明方法类似，但此处以条件①为例详细阐述）：
（1）选择的条件是①。
（2）证明：
在正方形$ABCD$中，已知$AB=CD$，$\angle A=\angle C=90^\circ$，$AD// BC$，$AD=BC$。
因为$AE=CF$（根据条件①），
根据三角形全等的判定方法中的SAS（两边及夹角相等）：
在$\triangle ABE$和$\triangle CDF$中，
$\begin{cases}AB=CD,\\\angle A=\angle C,\\AE=CF.\end{cases}$
所以$\triangle ABE\cong\triangle CDF$，
根据全等三角形的性质，对应边相等，
所以$BE=DF$。
【答案】：
(1) ①（答案不唯一）；
(2)证明见解析。

17. 甲、乙两选手在相同条件下各射靶 10 次,成绩如下面的图表。
| |平均数|中位数|方差|命中 10 环的次数|
|甲|7| | |0|
|乙| | | |1|

(1) 请补全上述图表；
(2) 如果规定成绩稳定者胜出,你认为是谁？请说明理由。

答案： 【解析】：（1）根据折线图，甲选手10次射靶的成绩依次为：9,6,7,6,2,7,7,8,9,7。将这些数据从小到大排列：2,6,6,7,7,7,7,8,9,9。中位数是第5和第6个数的平均值，即(7+7)÷2=7。甲的方差计算如下：先求各数据与平均数7的差的平方，(9-7)²=4，(6-7)²=1，(7-7)²=0，(6-7)²=1，(2-7)²=25，(7-7)²=0，(7-7)²=0，(8-7)²=1，(9-7)²=4，(7-7)²=0，这些平方和为4+1+0+1+25+0+0+1+4+0=36，方差为36÷10=3.6。
乙选手10次射靶的成绩依次为：2,4,6,8,7,7,8,9,9,10。平均数为(2+4+6+8+7+7+8+9+9+10)÷10=70÷10=7。将乙的成绩从小到大排列：2,4,6,7,7,8,8,9,9,10，中位数是第5和第6个数的平均值，即(7+8)÷2=7.5。乙的方差计算：各数据与平均数7的差的平方，(2-7)²=25，(4-7)²=9，(6-7)²=1，(8-7)²=1，(7-7)²=0，(7-7)²=0，(8-7)²=1，(9-7)²=4，(9-7)²=4，(10-7)²=9，平方和为25+9+1+1+0+0+1+4+4+9=54，方差为54÷10=5.4。乙命中10环的次数从数据中可知为1次。
（2）比较甲和乙的方差，甲的方差3.6小于乙的方差5.4，方差越小成绩越稳定，所以甲胜出。
【答案】：（1）甲的中位数为7，方差为3.6；乙的平均数为7，中位数为7.5，方差为5.4。（2）甲胜出。