《2025年暑假作业八年级数学人教版教育科学出版社》

15. 如图所示,$E为□ ABCD中DC$延长线上的一点,且$CE = DC$,连接$AE分别交BC$、$BD于点F$、$G$,连接$AC交BD于O$,连接$OF$。求证：$AB = 2OF$。

答案： 【解析】：证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，OA=OC（平行四边形对角线互相平分）。
∵E为DC延长线上一点，且CE=DC，
∴CE=CD=AB，且AB//CE。
∴∠BAF=∠E，∠ABF=∠ECF（两直线平行，内错角相等）。
在△ABF和△ECF中，
$\begin{cases} ∠BAF=∠E \\ AB=CE \\ ∠ABF=∠ECF \end{cases}$，
∴△ABF≌△ECF（ASA），
∴BF=CF（全等三角形对应边相等），即F为BC中点。
∵O为AC中点（平行四边形对角线互相平分），
∴OF是△ABC的中位线（三角形中位线定义），
∴AB=2OF（三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）。
【答案】：AB=2OF

1. 在$□ ABCD$中,延长$AD到F$,使$DF = AD$,连接$BF交CD于点E$,求证：点$E平分CD$、$BF$。

答案： 【解析】：
首先，连接$BD$，由于$DF = AD$，且$AD$是平行四边形$ABCD$的一条边，所以$DF$与$BC$平行且等长（因为$AD // BC$且$AD = BC$在平行四边形中）。
由于$DF // BC$，根据平行线的性质，得到$\angle FDE = \angle ECB$（内错角相等），$\angle FED = \angle CEB$（对顶角相等）。
又因为$DF = BC$，且$DE$是$\triangle DEF$和$\triangle CEB$的公共边，所以根据三角形的全等判定——角角边（$AAS$）全等，得到$\triangle DEF \cong \triangle CEB$。
由于$\triangle DEF$与$\triangle CEB$全等，所以$CE = DE$，即点$E$平分$CD$。
同时，由于$\triangle DEF$与$\triangle CEB$全等，所以$BE = EF$，即点$E$也平分$BF$。
【答案】：
点$E$平分$CD$，点$E$平分$BF$。

2. 在$\triangle ABC$中,$∠ACB = 90^{\circ}$,$CF$是斜边上的高,$AM平分∠CAB交CF于点D$,交$CB于点M$,过点$D作DE// AB交BC于点E$,证明：$CM = EB$。

答案： 【解析】：过点$M$作$MN \perp AB$于点$N$。
因为$AM$平分$\angle CAB$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$MN \perp AB$，所以$CM = MN$（角平分线性质）。
易证$\angle ADC = \angle AMD$，所以$CM = CD$（等角对等边），进而$CD = MN$。
因为$DE // AB$，所以$\angle CDE = \angle CFB = 90^{\circ}$，$\angle CED = \angle B$。
在$\triangle CDE$和$\triangle MNB$中，$\angle CDE = \angle MNB = 90^{\circ}$，$\angle CED = \angle B$，$CD = MN$，所以$\triangle CDE \cong \triangle MNB(AAS)$，故$CE = MB$。
因此$CE - ME = MB - ME$，即$CM = EB$。
【答案】：$CM = EB$