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6. 下列二次根式中,属于最简二次根式的是( )。
A.$\sqrt{\frac{1}{2}}$
B.$\sqrt{4}$
C.$\sqrt{8}$
D.$\sqrt{5}$
A.$\sqrt{\frac{1}{2}}$
B.$\sqrt{4}$
C.$\sqrt{8}$
D.$\sqrt{5}$
答案：
【解析】：
A项：$\sqrt{\frac{1}{2}}$，该二次根式的被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式，故A项错误；
B项：$\sqrt{4}$ = 2，该二次根式的被开方数能开得尽方，因此它不是最简二次根式，故B项错误；
C项：$\sqrt{8}$ = $2\sqrt{2}$，该二次根式的被开方数中含有能开得尽方的因数4，因此它不是最简二次根式，故C项错误；
D项：$\sqrt{5}$，该二次根式满足最简二次根式的定义，即被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，故D项正确。
【答案】：D
A项：$\sqrt{\frac{1}{2}}$，该二次根式的被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式，故A项错误；
B项：$\sqrt{4}$ = 2，该二次根式的被开方数能开得尽方，因此它不是最简二次根式，故B项错误；
C项：$\sqrt{8}$ = $2\sqrt{2}$，该二次根式的被开方数中含有能开得尽方的因数4，因此它不是最简二次根式，故C项错误；
D项：$\sqrt{5}$，该二次根式满足最简二次根式的定义，即被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，故D项正确。
【答案】：D
7. $a \geq 0$时,比较$\sqrt{a^2}$、$\sqrt{(-a)^2}$、$-\sqrt{a^2}$的结果,正确的是( )。
A.$\sqrt{a^2} = \sqrt{(-a)^2} \geq -\sqrt{a^2}$
B.$\sqrt{a^2} ＞ \sqrt{(-a)^2} ＞ -\sqrt{a^2}$
C.$\sqrt{a^2} ＜ \sqrt{(-a)^2} ＜ -\sqrt{a^2}$
D.$-\sqrt{a^2} ＞ \sqrt{a^2} = \sqrt{(-a)^2}$
A.$\sqrt{a^2} = \sqrt{(-a)^2} \geq -\sqrt{a^2}$
B.$\sqrt{a^2} ＞ \sqrt{(-a)^2} ＞ -\sqrt{a^2}$
C.$\sqrt{a^2} ＜ \sqrt{(-a)^2} ＜ -\sqrt{a^2}$
D.$-\sqrt{a^2} ＞ \sqrt{a^2} = \sqrt{(-a)^2}$
答案：
【解析】：
首先计算各个表达式的值。
1. $\sqrt{a^2}$：
根据平方根的定义，当$a \geq 0$时，$\sqrt{a^2} = a$。
2. $\sqrt{(-a)^2}$：
$(-a)^2 = a^2$，所以$\sqrt{(-a)^2} = \sqrt{a^2} = a$。
3. $-\sqrt{a^2}$：
由于$\sqrt{a^2} = a$，所以$-\sqrt{a^2} = -a$。
接下来，比较这三个值的大小关系。
由于$a \geq 0$，所以有：
$a = a \geq -a$，
即：
$\sqrt{a^2} = \sqrt{(-a)^2} \geq -\sqrt{a^2}$。
【答案】：A
首先计算各个表达式的值。
1. $\sqrt{a^2}$：
根据平方根的定义，当$a \geq 0$时，$\sqrt{a^2} = a$。
2. $\sqrt{(-a)^2}$：
$(-a)^2 = a^2$，所以$\sqrt{(-a)^2} = \sqrt{a^2} = a$。
3. $-\sqrt{a^2}$：
由于$\sqrt{a^2} = a$，所以$-\sqrt{a^2} = -a$。
接下来，比较这三个值的大小关系。
由于$a \geq 0$，所以有：
$a = a \geq -a$，
即：
$\sqrt{a^2} = \sqrt{(-a)^2} \geq -\sqrt{a^2}$。
【答案】：A
8. 直角三角形两条直角边的边长分别为$\sqrt{15}和\sqrt{12}$,它的斜边长是( )。
A.$3\sqrt{2}$
B.$3\sqrt{3}$
C.9
D.27
A.$3\sqrt{2}$
B.$3\sqrt{3}$
C.9
D.27
答案：
【解析】：根据勾股定理，直角三角形的斜边长的平方等于两条直角边长的平方和。已知两条直角边分别为$\sqrt{15}$和$\sqrt{12}$，则斜边长的平方为$(\sqrt{15})^2 + (\sqrt{12})^2 = 15 + 12 = 27$，所以斜边长为$\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$。
【答案】：B
【答案】：B
9. 把$(a - 1)\sqrt{-\frac{1}{a - 1}}中根号外的(a - 1)$移入根号内,得( )。
A.$\sqrt{a - 1}$
B.$\sqrt{1 - a}$
C.$-\sqrt{a - 1}$
D.$-\sqrt{1 - a}$
A.$\sqrt{a - 1}$
B.$\sqrt{1 - a}$
C.$-\sqrt{a - 1}$
D.$-\sqrt{1 - a}$
答案：
【解析】：
首先，为了使根号下的表达式非负，我们需要有 $a - 1 ＜ 0$，即 $a ＜ 1$。
这样，我们可以将 $a - 1$ 表示为 $- (1 - a)$，其中 $1 - a ＞ 0$。
接下来，我们将原式 $(a - 1)\sqrt{-\frac{1}{a - 1}}$ 进行变形：
$(a - 1)\sqrt{-\frac{1}{a - 1}} = - (1 - a)\sqrt{-\frac{1}{a - 1}}$
$= - (1 - a)\sqrt{\frac{1}{1 - a}}$
$= - \sqrt{(1 - a)^{2} \cdot \frac{1}{1 - a}}$
$= - \sqrt{1 - a}$
【答案】：D
首先，为了使根号下的表达式非负，我们需要有 $a - 1 ＜ 0$，即 $a ＜ 1$。
这样，我们可以将 $a - 1$ 表示为 $- (1 - a)$，其中 $1 - a ＞ 0$。
接下来，我们将原式 $(a - 1)\sqrt{-\frac{1}{a - 1}}$ 进行变形：
$(a - 1)\sqrt{-\frac{1}{a - 1}} = - (1 - a)\sqrt{-\frac{1}{a - 1}}$
$= - (1 - a)\sqrt{\frac{1}{1 - a}}$
$= - \sqrt{(1 - a)^{2} \cdot \frac{1}{1 - a}}$
$= - \sqrt{1 - a}$
【答案】：D
10. 在下列各式中,化简正确的是( )。
A.$\sqrt{\frac{5}{3}} = 3\sqrt{15}$
B.$\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{2}\sqrt{2}$
C.$\sqrt{a^4b} = a^2\sqrt{b}$
D.$\sqrt{x^3 - x^2} = x\sqrt{x - 1}$
A.$\sqrt{\frac{5}{3}} = 3\sqrt{15}$
B.$\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{2}\sqrt{2}$
C.$\sqrt{a^4b} = a^2\sqrt{b}$
D.$\sqrt{x^3 - x^2} = x\sqrt{x - 1}$
答案：
【解析】：
A. 对于 $\sqrt{\frac{5}{3}}$，我们可以将其转化为有理数的形式：
$\sqrt{\frac{5}{3}} = \sqrt{\frac{5 × 3}{3 × 3}} = \frac{\sqrt{15}}{3}$
显然，$\frac{\sqrt{15}}{3} \neq 3\sqrt{15}$，所以A选项错误。
B. 对于 $\sqrt{\frac{1}{2}}$，我们可以将其转化为有理数的形式：
$\sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1 × 2}{2 × 2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
注意，算术平方根的结果总是非负的，所以 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 不等于 $\pm \frac{1}{2}\sqrt{2}$，B选项错误。
C. 对于 $\sqrt{a^{4}b}$，我们可以将其拆分为：
$\sqrt{a^{4}b} = \sqrt{a^{4}} × \sqrt{b} = a^{2}\sqrt{b}$
所以C选项正确。
D. 对于 $\sqrt{x^{3} - x^{2}}$，我们可以将其因式分解为：
$\sqrt{x^{3} - x^{2}} = \sqrt{x^{2}(x - 1)} = |x|\sqrt{x - 1}$
注意，这里的结果是 $|x|\sqrt{x - 1}$，而不是 $x\sqrt{x - 1}$。因为当 $x ＜ 0$ 时，$|x| = -x$，所以D选项错误。
【答案】：C
A. 对于 $\sqrt{\frac{5}{3}}$，我们可以将其转化为有理数的形式：
$\sqrt{\frac{5}{3}} = \sqrt{\frac{5 × 3}{3 × 3}} = \frac{\sqrt{15}}{3}$
显然，$\frac{\sqrt{15}}{3} \neq 3\sqrt{15}$，所以A选项错误。
B. 对于 $\sqrt{\frac{1}{2}}$，我们可以将其转化为有理数的形式：
$\sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1 × 2}{2 × 2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
注意，算术平方根的结果总是非负的，所以 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 不等于 $\pm \frac{1}{2}\sqrt{2}$，B选项错误。
C. 对于 $\sqrt{a^{4}b}$，我们可以将其拆分为：
$\sqrt{a^{4}b} = \sqrt{a^{4}} × \sqrt{b} = a^{2}\sqrt{b}$
所以C选项正确。
D. 对于 $\sqrt{x^{3} - x^{2}}$，我们可以将其因式分解为：
$\sqrt{x^{3} - x^{2}} = \sqrt{x^{2}(x - 1)} = |x|\sqrt{x - 1}$
注意，这里的结果是 $|x|\sqrt{x - 1}$，而不是 $x\sqrt{x - 1}$。因为当 $x ＜ 0$ 时，$|x| = -x$，所以D选项错误。
【答案】：C
11. $(-\sqrt{3})^2 = $______,$-\sqrt{0.0004} = $______。
答案：
【解析】：
对于$(-\sqrt{3})^2$，根据平方的定义，一个数的平方等于它自身乘以它自身。
因此，$(-\sqrt{3})^2 = (-\sqrt{3}) × (-\sqrt{3}) = 3$。
对于$-\sqrt{0.0004}$，根据平方根的定义，需要找到一个数，其平方等于$0.0004$。
因为$0.02 × 0.02 = 0.0004$，
所以，$\sqrt{0.0004} = 0.02$，
再取负值，即$-\sqrt{0.0004} = -0.02$。
【答案】：3；-0.02。
对于$(-\sqrt{3})^2$，根据平方的定义，一个数的平方等于它自身乘以它自身。
因此，$(-\sqrt{3})^2 = (-\sqrt{3}) × (-\sqrt{3}) = 3$。
对于$-\sqrt{0.0004}$，根据平方根的定义，需要找到一个数，其平方等于$0.0004$。
因为$0.02 × 0.02 = 0.0004$，
所以，$\sqrt{0.0004} = 0.02$，
再取负值，即$-\sqrt{0.0004} = -0.02$。
【答案】：3；-0.02。
12. 比较大小：$-\sqrt{17}$______$-4$,$2\sqrt{3}$______$\sqrt{12}$。
答案：
【解析】：对于$-\sqrt{17}$和$-4$，先比较$\sqrt{17}$与$4$的大小。因为$4 = \sqrt{16}$，而$17＞16$，所以$\sqrt{17}＞\sqrt{16}=4$，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，故$-\sqrt{17}＜-4$。
对于$2\sqrt{3}$和$\sqrt{12}$，将$2\sqrt{3}$化为最简二次根式，$2\sqrt{3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=\sqrt{4×3}=\sqrt{12}$，所以$2\sqrt{3}=\sqrt{12}$。
【答案】：$＜$，$=$
对于$2\sqrt{3}$和$\sqrt{12}$，将$2\sqrt{3}$化为最简二次根式，$2\sqrt{3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=\sqrt{4×3}=\sqrt{12}$，所以$2\sqrt{3}=\sqrt{12}$。
【答案】：$＜$，$=$
13. 若$\sqrt{30} = m$,则$\sqrt{0.3} = $______。
答案：
【解析】：
已知 $\sqrt{30} = m$，需要求 $\sqrt{0.3}$。
首先，将0.3写成分数的形式，即 $0.3 = \frac{3}{10}$。
然后，对 $\frac{3}{10}$ 开方，得到 $\sqrt{0.3} = \sqrt{\frac{3}{10}}$。
根据根式的性质，$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$，所以 $\sqrt{\frac{3}{10}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$。
为了将分母有理化，我们可以同时乘以 $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$，得到 $\frac{\sqrt{3} × \sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{30}}{10}$。
已知 $\sqrt{30} = m$，所以 $\sqrt{0.3} = \frac{m}{10}$。
【答案】：$\frac{m}{10}$
已知 $\sqrt{30} = m$，需要求 $\sqrt{0.3}$。
首先，将0.3写成分数的形式，即 $0.3 = \frac{3}{10}$。
然后，对 $\frac{3}{10}$ 开方，得到 $\sqrt{0.3} = \sqrt{\frac{3}{10}}$。
根据根式的性质，$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$，所以 $\sqrt{\frac{3}{10}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$。
为了将分母有理化，我们可以同时乘以 $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$，得到 $\frac{\sqrt{3} × \sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{30}}{10}$。
已知 $\sqrt{30} = m$，所以 $\sqrt{0.3} = \frac{m}{10}$。
【答案】：$\frac{m}{10}$
14. $3\sqrt{\frac{4}{9}a^3bc^4} = $______。
答案：
【解析】：
首先，将原式拆分为各个因子的平方根形式：
$3\sqrt{\frac{4}{9}a^{3}bc^{4}} = 3\sqrt{\frac{4}{9}} × \sqrt{a^{3}} × \sqrt{b} × \sqrt{c^{4}}$，
然后，分别计算每个因子的平方根：
$\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$，
$\sqrt{a^{3}} = a\sqrt{a}$，
$\sqrt{b} = \sqrt{b}$ （这个因子保持不变，因为它已经是最简形式），
$\sqrt{c^{4}} = c^{2}$，
将这些因子相乘，得到：
$3\sqrt{\frac{4}{9}a^{3}bc^{4}} = 3 × \frac{2}{3} × a\sqrt{a} × \sqrt{b} × c^{2} = 2ac^{2}\sqrt{ab}$。
【答案】：$2ac^{2}\sqrt{ab}$。
首先，将原式拆分为各个因子的平方根形式：
$3\sqrt{\frac{4}{9}a^{3}bc^{4}} = 3\sqrt{\frac{4}{9}} × \sqrt{a^{3}} × \sqrt{b} × \sqrt{c^{4}}$，
然后，分别计算每个因子的平方根：
$\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$，
$\sqrt{a^{3}} = a\sqrt{a}$，
$\sqrt{b} = \sqrt{b}$ （这个因子保持不变，因为它已经是最简形式），
$\sqrt{c^{4}} = c^{2}$，
将这些因子相乘，得到：
$3\sqrt{\frac{4}{9}a^{3}bc^{4}} = 3 × \frac{2}{3} × a\sqrt{a} × \sqrt{b} × c^{2} = 2ac^{2}\sqrt{ab}$。
【答案】：$2ac^{2}\sqrt{ab}$。
15. 化简$\sqrt{x^4 + x^2y^2} = $______。$(x \geq 0)$
答案：
【解析】：因为$x \geq 0$，所以对$\sqrt{x^4 + x^2y^2}$进行化简，先提取公因式$x^2$可得：$\sqrt{x^2(x^2 + y^2)}$。根据二次根式的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$（$a\geq0$，$b\geq0$），可进一步化为$\sqrt{x^2}\cdot\sqrt{x^2 + y^2}$。又因为$x \geq 0$，所以$\sqrt{x^2}=x$，因此原式化简结果为$x\sqrt{x^2 + y^2}$。
【答案】：$x\sqrt{x^2 + y^2}$
【答案】：$x\sqrt{x^2 + y^2}$
16. 如果$\sqrt{3 - x} + \sqrt{x - 3}$有意义,那么$\sqrt{x^{-2}} = $______。
答案：
【解析】：要使$\sqrt{3 - x} + \sqrt{x - 3}$有意义，则被开方数必须为非负数，即：
$\begin{cases}3 - x \geq 0 \\x - 3 \geq 0\end{cases}$
解第一个不等式$3 - x \geq 0$，得$x \leq 3$；解第二个不等式$x - 3 \geq 0$，得$x \geq 3$。所以$x$只能等于$3$。
将$x = 3$代入$\sqrt{x^{-2}}$，先计算$x^{-2} = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$，则$\sqrt{x^{-2}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$。
【答案】：$\frac{1}{3}$
$\begin{cases}3 - x \geq 0 \\x - 3 \geq 0\end{cases}$
解第一个不等式$3 - x \geq 0$，得$x \leq 3$；解第二个不等式$x - 3 \geq 0$，得$x \geq 3$。所以$x$只能等于$3$。
将$x = 3$代入$\sqrt{x^{-2}}$，先计算$x^{-2} = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$，则$\sqrt{x^{-2}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$。
【答案】：$\frac{1}{3}$
17. 如果$\sqrt{20m}$是一个正整数,那么正整数$m$的最小值是______。
答案：
【解析】：
首先，对20进行质因数分解，得到：
$20 = 2^{2} × 5$
为了使$\sqrt{20m}$为正整数，需要找到一个最小的正整数$m$，使得$20m$是一个完全平方数。
考虑$m$的最小值，我们可以尝试将20的质因数分解中的每一个质因数的指数都变为偶数。
目前，质因数2的指数是2（已经是偶数），而质因数5的指数是1（奇数）。
为了使5的指数也变为偶数，我们需要再乘以一个5，即$m$至少为5。
这样，$20m = 2^{2} × 5 × 5 = 2^{2} × 5^{2} = 100$，这是一个完全平方数。
因此，当$m=5$时，$\sqrt{20m} = \sqrt{100} = 10$，是一个正整数。
所以，正整数$m$的最小值是5的某个倍数且使得乘积为完全平方数的最小值，经检验即为5本身。
【答案】：5
首先，对20进行质因数分解，得到：
$20 = 2^{2} × 5$
为了使$\sqrt{20m}$为正整数，需要找到一个最小的正整数$m$，使得$20m$是一个完全平方数。
考虑$m$的最小值，我们可以尝试将20的质因数分解中的每一个质因数的指数都变为偶数。
目前，质因数2的指数是2（已经是偶数），而质因数5的指数是1（奇数）。
为了使5的指数也变为偶数，我们需要再乘以一个5，即$m$至少为5。
这样，$20m = 2^{2} × 5 × 5 = 2^{2} × 5^{2} = 100$，这是一个完全平方数。
因此，当$m=5$时，$\sqrt{20m} = \sqrt{100} = 10$，是一个正整数。
所以，正整数$m$的最小值是5的某个倍数且使得乘积为完全平方数的最小值，经检验即为5本身。
【答案】：5
18. 先化简再求值：当$a = 2$时,求$a + \sqrt{1 - 2a + a^2}$的值。
甲乙两人的解答分别如下。
甲：原式$= a + \sqrt{(1 - a)^2} = a + 1 - a = 1$；
乙：原式$= a + \sqrt{(1 - a)^2} = a + (a - 1) = 2a - 1 = 3$。
两种解答中,______的解答是错误的,错误的原因是______。
甲乙两人的解答分别如下。
甲：原式$= a + \sqrt{(1 - a)^2} = a + 1 - a = 1$；
乙：原式$= a + \sqrt{(1 - a)^2} = a + (a - 1) = 2a - 1 = 3$。
两种解答中,______的解答是错误的,错误的原因是______。
答案：
【解析】：甲的解答错误，因为当$a = 2$时，$\sqrt{(1 - a)^2} = |1 - a| = a - 1$，而甲未考虑绝对值内式子的正负性，直接去掉了绝对值符号得到$1 - a$。
【答案】：甲；甲未考虑$\sqrt{(1 - a)^2}$的结果为$|1 - a|$，当$a = 2$时，$|1 - a| = a - 1$，而非$1 - a$。
【答案】：甲；甲未考虑$\sqrt{(1 - a)^2}$的结果为$|1 - a|$，当$a = 2$时，$|1 - a| = a - 1$，而非$1 - a$。
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