《2025年暑假作业八年级数学人教版教育科学出版社》

1. 如图所示,在$□ ABCD$中,过对角线$AC中点O的直线交AD$、$CB的延长线于点E$、$F$。$DE与BF$的大小关系如何？证明你的结论。

答案： 【解析】：
第一步，由题意知四边形$ABCD$是平行四边形，过对角线$AC$中点$O$的直线交$AD$、$CB$的延长线于点$E$、$F$。
第二步，根据平行四边形的性质，平行四边形的对边平行且相等，因此$AD// BC$，$AD=BC$。
第三步，根据中点的性质，$O$是$AC$的中点，所以$AO=OC$。
第四步，由于$AD// BC$，根据平行线的性质，有$\angle EAO=\angle FCO$，$\angle AEO=\angle CFO$。
第五步，根据三角形的全等定理，由于$AO=OC$，$\angle EAO=\angle FCO$，$\angle AEO=\angle CFO$，所以三角形$AOE$全等于三角形$COF$。
第六步，根据全等三角形的对应边相等，得到$AE=CF$。
第七步，由于$AD=BC$，所以$DE=AE-AD=CF-BC=BF$。
【答案】：
$DE=BF$

2. 如图所示,在$□ ABCD$中,$\angle DAB= 60^{\circ}$,点$E$、$F分别在CD$、$AB$的延长线上,且$AE= AD$,$CF= CB$。
(1)求证：四边形$AFCE$是平行四边形。
(2)若去掉已知条件“$\angle DAB= 60^{\circ}$”,上述结论还成立吗？若成立,请写出证明过程；若不成立,请说明理由。

答案： 【解析】：
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AB//CD，AD//BC，∠DAB=∠BCD=60°，
∴∠ADE=∠DAB=60°，∠CBF=∠BCD=60°，
∵AE=AD，CF=CB，
∴△ADE和△CBF都是等边三角形，
∴DE=AD，BF=BC，
∴DE=BF，
∵AB=CD，
∴AB+BF=CD+DE，即AF=CE，
∵AB//CD，点E、F分别在CD、AB的延长线上，
∴AF//CE，
∴四边形AFCE是平行四边形；
(2)成立，证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AB//CD，AD//BC，∠ADC=∠ABC，∠DAB=∠BCD，
∵点E、F分别在CD、AB的延长线上，
∴∠ADE=180°-∠ADC，∠CBF=180°-∠ABC，
∴∠ADE=∠CBF，
∵AE=AD，CF=CB，
∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF，
∴∠AED=∠CFB，
在△ADE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠AED=∠CFB\\ ∠ADE=∠CBF\\ AD=BC\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CBF(AAS)，
∴DE=BF，
∵AB=CD，
∴AB+BF=CD+DE，即AF=CE，
∵AB//CD，点E、F分别在CD、AB的延长线上，
∴AF//CE，
∴四边形AFCE是平行四边形。
【答案】：
(1)证明见解析；
(2)成立，证明见解析