《2025年暑假作业八年级数学人教版教育科学出版社》

11. 如图所示,已知在$□ ABCD$中,$EF过对角线的交点O$,交$AD于点E$,交$BC于点F$,$AB= 4cm$,$BC= 5cm$,$OE= 1.5cm$,四边形$ABFE$的周长为______。

答案： 【解析】：在平行四边形$ABCD$中，对角线互相平分，所以$AO = OC$。因为$AD// BC$，所以$\angle EAO=\angle FCO$，$\angle AEO = \angle CFO$，可证$\triangle AOE\cong\triangle COF$（AAS），则$OE=OF = 1.5cm$，$AE=CF$。
四边形$ABFE$的周长为$AB + BF + EF + AE$，因为$AE=CF$，所以$BF + AE=BF + CF=BC = 5cm$。$EF=OE + OF=1.5 + 1.5 = 3cm$，$AB = 4cm$，所以周长为$4 + 5 + 3=12cm$。
【答案】：12

12. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$AB= AC= 6$,$D是BC$上的点,$DF// AB交AC于点F$,$DE// AC交AB于E$,那么四边形$AFDE$的周长为______。

答案： 【解析】：在$\triangle ABC$中，因为$AB = AC = 6$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形，$\angle B=\angle C$。
由于$DF// AB$，$DE// AC$，根据平行四边形的判定定理（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），可知四边形$AFDE$是平行四边形。因此，$AF = DE$，$AE = DF$，平行四边形$AFDE$的周长为$2(AE + AF)$。
因为$DE// AC$，所以$\angle EDB=\angle C$（两直线平行，同位角相等）。又因为$\angle B = \angle C$，所以$\angle EDB=\angle B$，根据等角对等边，可得$DE = BE$。
同理，$DF// AB$，所以$\angle FDC=\angle B$（两直线平行，同位角相等），又因为$\angle B=\angle C$，所以$\angle FDC=\angle C$，根据等角对等边，可得$DF = FC$。
因为$AB = AE + BE = 6$，且$BE = DE = AF$，所以$AE + AF=6$。
因此，四边形$AFDE$的周长为$2(AE + AF)=2×6 = 12$。
【答案】：12

13. 如图所示,在$□ ABCD$中,已知$AD= 8cm$,$AB= 6cm$,$DE平分\angle ADC交BC于点E$,求$BE$的长。

答案： 【解析】：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，
所以$BC=AD=8cm$，$CD=AB=6cm$，$AD// BC$，
所以$\angle EDA=\angle DEC$，
又因为$DE$平分$\angle ADC$，
所以$\angle EDC=\angle ADE$，
所以$\angle EDC=\angle DEC$，
所以$CD=CE=AB=6cm$，
所以$BE=BC-EC=8-6=2cm$。
【答案】：$2cm$

14. 如图所示,已知在$□ ABCD$中,$E$、$F是AD$、$BC$的中点,$AF与BE交于G$,$CE和DF交于H$。求证：四边形$EGFH$是平行四边形。

答案： 【解析】：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$且$AD = BC$。
由于$E$、$F$分别是$AD$、$BC$的中点，所以$AE=\frac{1}{2}AD$，$FC = \frac{1}{2}BC$，进而可得$AE = FC$。
又因为$AD// BC$，即$AE// FC$，所以四边形$AFCE$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），因此$AF// EC$，即$GF// EH$。
同理，$ED=\frac{1}{2}AD$，$BF = \frac{1}{2}BC$，所以$ED = BF$，且$ED// BF$，故四边形$BFDE$是平行四边形，从而$BE// FD$，即$GE// FH$。
因为$GF// EH$且$GE// FH$，所以四边形$EGFH$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
【答案】：四边形$EGFH$是平行四边形。