《2025年暑假作业八年级数学人教版教育科学出版社》

1. 已知直线 $ x - 2y = -k + 6 $ 和 $ x + 3y = 4k + 1 $ 的交点在第四象限内。
(1) 求 $ k $ 的取值范围；
(2) 若 $ k $ 为非负整数,求直线 $ x - 2y = -k + 6 $ 和 $ x + 3y = 4k + 1 $ 分别与 $ y $ 轴的交点,以及它们的交点所围成的三角形面积。

答案： 【解析】：
(1) 首先，需要找到两条直线的交点坐标。为此，解线性方程组：
$\{\begin{array}{l}x - 2y = -k + 6, \\ x + 3y = 4k + 1.\end{array}$
将第一个方程减去第二个方程，得到：
$-5y = -5k + 5 \implies y = k - 1$，
将 $y = k - 1$ 代入第一个方程，得到：
$x - 2(k - 1) = -k + 6 \implies x = k + 4$，
所以交点坐标为 $(k + 4, k - 1)$。
因为交点在第四象限，所以 $x ＞ 0$ 且 $y ＜ 0$。
即：
$\{\begin{array}{l}k + 4 ＞ 0, \\k - 1 ＜ 0.\end{array}$
解这个不等式组，得到 $-4 ＜ k ＜ 1$。
(2) $k$ 为非负整数，且由
(1) 知 $-4 ＜ k ＜ 1$，所以 $k = 0$。
当 $k = 0$ 时，直线方程变为：
$\{\begin{array}{l}x - 2y = 6, \\x + 3y = 1.\end{array}$
这两条直线与 $y$ 轴的交点分别是当 $x = 0$ 时的 $y$ 值。
解得交点为 $(0, -3)$ 和 $(0, \frac{1}{3})$。
两条直线的交点为 $(4, -1)$。
围成的三角形三个顶点为 $(0, -3)$，$(0, \frac{1}{3})$，$(4, -1)$。
使用三角形面积公式：
$S = \frac{1}{2} × \text{底} × \text{高}$，
在这里底为 $| -3 - \frac{1}{3}| = \frac{10}{3}$，高为 $4$。
所以面积为：
$S = \frac{1}{2} × \frac{10}{3} × 4 = \frac{20}{3}$。
【答案】：
(1) $k$ 的取值范围是 $-4 ＜ k ＜ 1$；
(2) 所围成的三角形面积是 $\frac{20}{3}$。

2. 如图所示,已知点 $ A(0,1) $、$ M(3,2) $、$ N(4,4) $,动点 $ P $ 从点 $ A $ 出发,沿 $ y $ 轴以每秒 $ 1 $ 个单位长度的速度向上移动,且过点 $ P $ 的直线 $ l:y = -x + b $ 也随之移动,设移动时间为 $ t $ 秒。
(1) 当 $ t = 3 $ 时,求 $ l $ 的解析式；
(2) 若点 $ M $、$ N $ 位于 $ l $ 的异侧,求 $ t $ 的取值范围。

答案： 【解析】：
(1) 当 $t = 3$ 时，动点 $P$ 从 $A(0,1)$ 出发，沿 $y$ 轴以每秒 1 个单位长度的速度向上移动 3 秒，因此点 $P$ 的坐标为 $(0, 1+3) = (0,4)$。
直线 $l$ 的解析式为 $y = -x + b$，且过点 $P(0,4)$，代入得 $4 = -0 + b$，即 $b = 4$。
所以，当 $t = 3$ 时，直线 $l$ 的解析式为 $y = -x + 4$。
(2) 点 $M(3,2)$、$N(4,4)$ 位于 $l$ 的异侧，即代入 $y = -x + b$ 后，一个点的函数值大于 0，另一个点的函数值小于 0。
对于点 $M(3,2)$，代入得 $2 = -3 + b$，即 $b = 5$。
对于点 $N(4,4)$，代入得 $4 = -4 + b$，即 $b = 8$。
因此，当 $5 ＜ b ＜ 8$ 时，点 $M$、$N$ 位于 $l$ 的异侧。
由于 $b = 1 + t$（因为动点 $P$ 从 $A(0,1)$ 出发，且 $l$ 过点 $P$），所以 $5 ＜ 1 + t ＜ 8$，解得 $4 ＜ t ＜ 7$。
【答案】：
(1) $y = -x + 4$
(2) $4 ＜ t ＜ 7$