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22. 化简。
(1) $\sqrt{4\frac{3}{5}}$ (2) $(\sqrt{a^2})^2$
(3) $(\sqrt{x + 1})^2(x \geq 0)$ (4) $(\sqrt{a^2 + 2a + 1})^2$
(1) $\sqrt{4\frac{3}{5}}$ (2) $(\sqrt{a^2})^2$
(3) $(\sqrt{x + 1})^2(x \geq 0)$ (4) $(\sqrt{a^2 + 2a + 1})^2$
答案：
【解析】：
(1) 首先将混合数转换为真分数：
$4\frac{3}{5} = \frac{4 × 5 + 3}{5} = \frac{23}{5}$
再对分数开方：
$\sqrt{4\frac{3}{5}} = \sqrt{\frac{23}{5}}$
为了化简这个根式，我们可以将其转换为分数指数幂的形式，并简化：
$\sqrt{\frac{23}{5}} = \left(\frac{23}{5}\right)^{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{23}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{23} × \sqrt{5}}{\sqrt{5} × \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{115}}{5}$
(2) 对于表达式$(\sqrt{a^2})^2$，我们可以直接利用平方根和平方的运算性质进行化简：
$(\sqrt{a^2})^2 = a^2$
(3) 对于表达式$(\sqrt{x + 1})^2$，在$x \geq 0$的条件下，我们可以直接去掉平方根和平方，因为它们互为逆运算：
$(\sqrt{x + 1})^2 = x + 1$
(4) 对于表达式$(\sqrt{a^2 + 2a + 1})^2$，我们首先观察根号内的部分，它是一个完全平方：
$a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2$
所以原表达式可以化简为：
$(\sqrt{(a + 1)^2})^2 = (a + 1)^2$
【答案】：
(1) $\frac{\sqrt{115}}{5}$
(2) $a^2$
(3) $x + 1$
(4) $(a + 1)^2$
(1) 首先将混合数转换为真分数：
$4\frac{3}{5} = \frac{4 × 5 + 3}{5} = \frac{23}{5}$
再对分数开方：
$\sqrt{4\frac{3}{5}} = \sqrt{\frac{23}{5}}$
为了化简这个根式，我们可以将其转换为分数指数幂的形式，并简化：
$\sqrt{\frac{23}{5}} = \left(\frac{23}{5}\right)^{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{23}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{23} × \sqrt{5}}{\sqrt{5} × \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{115}}{5}$
(2) 对于表达式$(\sqrt{a^2})^2$，我们可以直接利用平方根和平方的运算性质进行化简：
$(\sqrt{a^2})^2 = a^2$
(3) 对于表达式$(\sqrt{x + 1})^2$，在$x \geq 0$的条件下，我们可以直接去掉平方根和平方，因为它们互为逆运算：
$(\sqrt{x + 1})^2 = x + 1$
(4) 对于表达式$(\sqrt{a^2 + 2a + 1})^2$，我们首先观察根号内的部分，它是一个完全平方：
$a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2$
所以原表达式可以化简为：
$(\sqrt{(a + 1)^2})^2 = (a + 1)^2$
【答案】：
(1) $\frac{\sqrt{115}}{5}$
(2) $a^2$
(3) $x + 1$
(4) $(a + 1)^2$
23. 阅读以下运算过程：$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} × \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$,$\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5} × \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$。
数学中把这种去掉分母中根号的过程叫作“分母有理化”。请你将下列分母有理化。
(1) $\frac{1}{\sqrt{12}}$ (2) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{40}}$
(3) $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{6}}$ (4) $\frac{\sqrt{15x^3}}{\sqrt{5x}}$
数学中把这种去掉分母中根号的过程叫作“分母有理化”。请你将下列分母有理化。
(1) $\frac{1}{\sqrt{12}}$ (2) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{40}}$
(3) $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{6}}$ (4) $\frac{\sqrt{15x^3}}{\sqrt{5x}}$
答案：
【解析】：
(1) 对于 $\frac{1}{\sqrt{12}}$，我们可以将分母进行因式分解，得到 $\sqrt{12} = \sqrt{4 × 3} = 2\sqrt{3}$。
所以，$\frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{1}{2\sqrt{3}}$。
为了有理化分母，我们同时乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$，得到：
$\frac{1}{2\sqrt{3}} × \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$
(2) 对于 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{40}}$，我们可以将分母进行因式分解，得到 $\sqrt{40} = \sqrt{4 × 10} = 2\sqrt{10}$。
为了有理化分母，我们同时乘以 $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$，得到：
$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{10}} × \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{30}}{20}$
(3) 对于 $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{6}}$，我们可以将分子进行化简，得到 $\sqrt{50} = \sqrt{25 × 2} = 5\sqrt{2}$。
为了有理化分母，我们同时乘以 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$，得到：
$\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{6}} × \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{5\sqrt{12}}{6} = \frac{5 × 2\sqrt{3}}{6} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$
(4) 对于 $\frac{\sqrt{15x^3}}{\sqrt{5x}}$，我们可以直接进行化简，得到：
$\frac{\sqrt{15x^3}}{\sqrt{5x}} = \sqrt{\frac{15x^3}{5x}} = \sqrt{3x^2} = \sqrt{3}x$
【答案】：
(1) $\frac{\sqrt{3}}{6}$
(2) $\frac{\sqrt{30}}{20}$
(3) $\frac{5\sqrt{3}}{3}$
(4) $\sqrt{3}x$
(1) 对于 $\frac{1}{\sqrt{12}}$，我们可以将分母进行因式分解，得到 $\sqrt{12} = \sqrt{4 × 3} = 2\sqrt{3}$。
所以，$\frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{1}{2\sqrt{3}}$。
为了有理化分母，我们同时乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$，得到：
$\frac{1}{2\sqrt{3}} × \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$
(2) 对于 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{40}}$，我们可以将分母进行因式分解，得到 $\sqrt{40} = \sqrt{4 × 10} = 2\sqrt{10}$。
为了有理化分母，我们同时乘以 $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$，得到：
$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{10}} × \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{30}}{20}$
(3) 对于 $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{6}}$，我们可以将分子进行化简，得到 $\sqrt{50} = \sqrt{25 × 2} = 5\sqrt{2}$。
为了有理化分母，我们同时乘以 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$，得到：
$\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{6}} × \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{5\sqrt{12}}{6} = \frac{5 × 2\sqrt{3}}{6} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$
(4) 对于 $\frac{\sqrt{15x^3}}{\sqrt{5x}}$，我们可以直接进行化简，得到：
$\frac{\sqrt{15x^3}}{\sqrt{5x}} = \sqrt{\frac{15x^3}{5x}} = \sqrt{3x^2} = \sqrt{3}x$
【答案】：
(1) $\frac{\sqrt{3}}{6}$
(2) $\frac{\sqrt{30}}{20}$
(3) $\frac{5\sqrt{3}}{3}$
(4) $\sqrt{3}x$
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