《2025年暑假作业八年级数学人教版教育科学出版社》

1. 已知一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4,则第三边长的平方是( )。

A.25
B.14
C.7
D.7 或 25

答案： 【解析】：
已知直角三角形的两边长分别为$3$和$4$，需要分情况讨论第三边的长度。
当$3$和$4$都是直角边时，根据勾股定理，斜边的平方等于两直角边的平方和，即$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$。
当$4$是斜边，$3$是直角边时，设另一条直角边为$a$，根据勾股定理，有$a^2 + 3^2 = 4^2$，解得$a^2 = 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7$。
综合以上两种情况，第三边长的平方可能是$25$或$7$。
【答案】：D

2. 下列各组数中,以 a、b、c 为边的三角形不是直角三角形的是( )。

A.$ a = 1.5 $、$ b = 2 $、$ c = 3 $
B.$ a = 7 $、$ b = 24 $、$ c = 25 $
C.$ a = 6 $、$ b = 8 $、$ c = 10 $
D.$ a = 3 $、$ b = 4 $、$ c = 5 $

答案： 【解析】：
对于选项A：$a = 1.5$，$b = 2$，$c = 3$，
我们需要验证是否满足 $a^2 + b^2 = c^2$，
计算得 $1.5^2 + 2^2 = 2.25 + 4 = 6.25$，
而 $3^2 = 9$，
因为 $6.25 \neq 9$，所以A不是直角三角形。
对于选项B：$a = 7$，$b = 24$，$c = 25$，
验证得 $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$，
且 $25^2 = 625$，
因为两者相等，所以B是直角三角形。
对于选项C：$a = 6$，$b = 8$，$c = 10$，
验证得 $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，
且 $10^2 = 100$，
因为两者相等，所以C是直角三角形。
对于选项D：$a = 3$，$b = 4$，$c = 5$，
验证得 $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，
且 $5^2 = 25$，
因为两者相等，所以D是直角三角形。
综上所述，只有选项A的三边不能满足勾股定理，因此不是直角三角形。
【答案】：A

3. 若线段 a、b、c 组成直角三角形,则它们的比可能为( )。

A.$ 2:3:4 $
B.$ 3:4:6 $
C.$ 5:12:13 $
D.$ 4:6:7 $

答案： 【解析】：要判断线段$a$、$b$、$c$的比是否能组成直角三角形，可根据勾股定理的逆定理，即若三个数满足较小两个数的平方和等于最大数的平方，则它们能组成直角三角形。
选项A：$2:3:4$
设三边长分别为$2k$、$3k$、$4k$（$k＞0$）。
计算较小两边的平方和：$(2k)^2 + (3k)^2 = 4k^2 + 9k^2 = 13k^2$，
最大边的平方：$(4k)^2 = 16k^2$。
因为$13k^2 \neq 16k^2$，所以不能组成直角三角形。
选项B：$3:4:6$
设三边长分别为$3k$、$4k$、$6k$（$k＞0$）。
较小两边的平方和：$(3k)^2 + (4k)^2 = 9k^2 + 16k^2 = 25k^2$，
最大边的平方：$(6k)^2 = 36k^2$。
因为$25k^2 \neq 36k^2$，所以不能组成直角三角形。
选项C：$5:12:13$
设三边长分别为$5k$、$12k$、$13k$（$k＞0$）。
较小两边的平方和：$(5k)^2 + (12k)^2 = 25k^2 + 144k^2 = 169k^2$，
最大边的平方：$(13k)^2 = 169k^2$。
因为$169k^2 = 169k^2$，所以能组成直角三角形。
选项D：$4:6:7$
设三边长分别为$4k$、$6k$、$7k$（$k＞0$）。
较小两边的平方和：$(4k)^2 + (6k)^2 = 16k^2 + 36k^2 = 52k^2$，
最大边的平方：$(7k)^2 = 49k^2$。
因为$52k^2 \neq 49k^2$，所以不能组成直角三角形。
综上，只有选项C满足勾股定理的逆定理。
【答案】：C

4. $ \triangle ABC $中,$ AB = 6 $、$ AC = 8 $、$ BC = 10 $,则该三角形为( )。

A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形

答案： 【解析】：
在$\triangle ABC$中，已知$AB=6$，$AC=8$，$BC=10$。
根据勾股定理的逆定理，若在一个三角形中，三边满足关系$a^2 + b^2 = c^2$（其中$c$是最长边），则该三角形是直角三角形。
将已知的边长代入上述关系中进行验证：
$AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，
同时，最长边$BC$的平方为：
$BC^2 = 10^2 = 100$，
由于$AB^2 + AC^2 = BC^2$，满足勾股定理的逆定理，
所以$\triangle ABC$是直角三角形。
【答案】：B

5. 直角三角形一直角边的长为 11,另两边为自然数,则直角三角形的周长为( )。

A.121
B.120
C.132
D.不能确定

答案： 【解析】：设直角三角形的另一条直角边为$a$，斜边为$c$。根据勾股定理可得$11^2 + a^2 = c^2$，即$c^2 - a^2 = 121$。利用平方差公式因式分解可得$(c - a)(c + a) = 121$。
因为$c$和$a$都是自然数，且$c ＞ a$，所以$c - a$和$c + a$都是正整数，并且$c - a ＜ c + a$，同时$c - a$和$c + a$的奇偶性相同（因为$c$和$a$都是自然数，所以$c + a$与$c - a$的和为$2c$是偶数，那么它们的奇偶性相同）。
121的因数有1、11、121。由于$c - a$和$c + a$都是正整数且$c - a ＜ c + a$，所以可能的组合为：
$c - a = 1$，$c + a = 121$（因为11和11的乘积虽然也是121，但此时$c - a = c + a$，不符合$c ＞ a$）。
解方程组$\begin{cases}c - a = 1\\c + a = 121\end{cases}$，将两式相加可得$2c = 122$，解得$c = 61$；将$c = 61$代入$c - a = 1$，可得$a = 60$。
所以直角三角形的三条边分别为11、60、61，周长为$11 + 60 + 61 = 132$。
【答案】：C

6. 如果直角三角形两直角边的比为 $ 5:12 $,则斜边上的高与斜边的比为( )。

A.$ 60:13 $
B.$ 5:12 $
C.$ 12:13 $
D.$ 60:169 $

答案： 【解析】：
设直角三角形的两直角边分别为 $5k$ 和 $12k$（其中 $k$ 是一个正实数）。
根据勾股定理：
斜边 $c$ 的长度可以通过以下公式计算：
$c = \sqrt{(5k)^2 + (12k)^2} = \sqrt{25k^2 + 144k^2} = \sqrt{169k^2} = 13k$，
设斜边上的高为 $h$。
根据直角三角形的面积公式，面积 $S$ 可以用两种方式表示：
$S = \frac{1}{2} × 5k × 12k = \frac{1}{2} × 13k × h$，
解这个方程以求出 $h$：
$\frac{1}{2} × 5k × 12k = \frac{1}{2} × 13k × h$，
$5k × 12k = 13k × h$，
$60k^2 = 13kh$，
$h = \frac{60k^2}{13k} = \frac{60k}{13}$，
斜边上的高与斜边的比：
$\frac{h}{c} = \frac{\frac{60k}{13}}{13k} = \frac{60}{169}$，
所以斜边上的高与斜边的比为 $60:169$。
【答案】：D

7. 如果直角三角形的两直角边边长分别为 $ n ^ { 2 } - 1 $、$ 2 n ( n ＞ 1 ) $,那么它的斜边长是( )。

A.$ 2 n $
B.$ n + 1 $
C.$ n ^ { 2 } - 1 $
D.$ n ^ { 2 } + 1 $

答案： 【解析】：
设直角三角形的两直角边分别为 $a$ 和 $b$，斜边为 $c$。
根据题目，有 $a = n^2 - 1$ 和 $b = 2n$。
根据勾股定理，斜边 $c$ 满足：
$c = \sqrt{a^2 + b^2}$，
将 $a$ 和 $b$ 的值代入，得：
$c = \sqrt{(n^2 - 1)^2 + (2n)^2}$
$= \sqrt{n^4 - 2n^2 + 1 + 4n^2}$
$= \sqrt{n^4 + 2n^2 + 1}$
$= \sqrt{(n^2 + 1)^2}$
$= n^2 + 1$
【答案】：D