《2025年暑假作业八年级数学人教版教育科学出版社》

1. 如图所示,已知在四边形 ABCD 中,$ A B = 3 \mathrm { cm } $,$ A D = 4 \mathrm { cm } $,$ B C = 13 \mathrm { cm } $,$ C D = 12 \mathrm { cm } $,且 $ \angle A = 90 ^ { \circ } $,求四边形 ABCD 的面积。

答案： 【解析】：
首先，连接$BD$。
在直角三角形$ABD$中，由于$\angle A=90^\circ$，$AB=3\text{cm}$，$AD=4\text{cm}$，
根据勾股定理，$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{(cm)}$，
接下来，观察三角形$BCD$。
由于$BC=13\text{cm}$，$CD=12\text{cm}$，$BD=5\text{cm}$，
根据勾股定理的逆定理，如果三角形三边满足$a^2+b^2=c^2$，则该三角形是直角三角形，
$BD^2+CD^2=5^2+12^2=25+144=169=13^2=BC^2$，
所以，$\angle BDC=90^\circ$，即三角形$BCD$是直角三角形。
因此，四边形$ABCD$的面积可以拆分为两个直角三角形的面积之和，
即$S_{ABCD}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle BCD}$
$=\frac{1}{2}× AB× AD+\frac{1}{2}× BD× CD$
$=\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×5×12$
$=6+30$
$=36\text{(cm}^2\text{)}$
【答案】：$36\text{cm}^2$

2. 如图所示,已知在 $ \mathrm { Rt } \triangle A B C $中,$ \angle C = 90 ^ { \circ } $,$ \angle 1 = \angle 2 $,$ C D = 1.5 $,$ B D = 2.5 $,求 AC 的长。

答案： 【解析】：
作$DE\perp AB$，交$AB$于点$E$。
因为$\angle 1=\angle 2$，且$CD\perp AC$，$DE\perp AB$，
由角平分线的性质可知$CD = DE=1.5$ 。
在$Rt\triangle BDE$中，根据勾股定理$BE^{2}=BD^{2}-DE^{2}$，
已知$BD = 2.5$，$DE = 1.5$，
则$BE=\sqrt{BD^{2}-DE^{2}}=\sqrt{2.5^{2}-1.5^{2}}=\sqrt{(2.5 + 1.5)(2.5 - 1.5)}=\sqrt{4×1}=2$。
设$AC = AE=x$，
在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，
已知$BC=CD + BD=1.5 + 2.5 = 4$，$AB=AE + BE=x + 2$，
可得$x^{2}+4^{2}=(x + 2)^{2}$，
展开式子得$x^{2}+16=x^{2}+4x + 4$，
移项化简可得$4x=12$，
解得$x = 3$，即$AC=3$。
【答案】：3

3. 如图所示,将一个有 $ 45 ^ { \circ } $角的三角板的直角顶点放在一张宽为 3cm 的矩形纸带边沿上,另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 $ 30 ^ { \circ } $角,求三角板最大边的长。

答案： 【解析】：
如图：过点$A$作$AD\perp CE$于$D$，
则$\angle ADC=90^\circ$，
$\because \angle ACD=30^\circ$，$AD=3\text{cm}$，
$\therefore AC=2AD=2×3=6\text{cm}$，
$\because \angle CAB=90^\circ$，$\angle B=45^\circ$，
$\therefore \angle ACB=45^\circ$，
$\therefore AB=AC=6\text{cm}$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}\text{cm}$。
【答案】：
$6\sqrt{2}\text{cm}$