《2025年暑假作业八年级数学人教版教育科学出版社》

18. 如图所示,$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AD平分\angle CAB$,$DE \perp AB于点E$,$AC = 6$,$BC = 8$,$CD = 3$。
(1) 求$DE$的长；
(2) 求$\triangle ADB$的面积。

答案： 【解析】：
(1) 根据角平分线性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
因为$AD$平分$\angle CAB$，$DE\perp AB$，$DC\perp AC$，
所以$DE=CD$。
已知$CD = 3$，
所以$DE = 3$。
(2) 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AC = 6$，$BC = 8$，
根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$，
可得$AB=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10$。
已知$DE = 3$，且$\triangle ADB$的面积$S_{\triangle ADB}=\frac{1}{2}× AB× DE$，
所以$S_{\triangle ADB}=\frac{1}{2}×10×3 = 15$。
【答案】：
(1)$DE$的长为$3$；
(2)$\triangle ADB$的面积为$15$。

19. 已知$y是x$的一次函数,且当$x = 4$时,$y = 9$；当$x = 6$时,$y = - 1$。求这个一次函数的表达式。

答案： 【解析】：设这个一次函数的表达式为$y = kx + b$（$k$、$b$为常数，$k \neq 0$）。
因为当$x = 4$时，$y = 9$；当$x = 6$时，$y = -1$，所以将这两组值分别代入函数表达式可得方程组：
$\begin{cases}4k + b = 9 \\6k + b = -1\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去$b$：
$(4k + b) - (6k + b) = 9 - (-1)$
$4k + b - 6k - b = 10$
$-2k = 10$
解得$k = -5$。
将$k = -5$代入$4k + b = 9$：
$4×(-5) + b = 9$
$-20 + b = 9$
解得$b = 29$。
所以这个一次函数的表达式为$y = -5x + 29$。
【答案】：$y = -5x + 29$

20. 某玩具商根据市场调查发现,该玩具的单价为 60 元时,销售量为 8000 件。由此开始,价格每提高 1 元,需要量就减少 500 件。
(1) 用表达式表示这种商品的需求量$y$(件)与这些商品的单价$x$(元)之间的关系,其中$x\geq 60$；
(2) 当价格为 70 元时,这种商品的需求量是多少？

答案： 【解析】：
(1) 根据题意，当单价为60元时，销售量为8000件。每当价格提高1元，销售量减少500件。
设单价为$x$元，需求量为$y$件。
当$x = 60$时，$y = 8000$。
每当$x$增加1，$y$减少500，所以需求量与单价之间的关系可以表示为：
$y = 8000 - 500(x - 60)$，
进一步化简，得到：
$y = 8000 - 500x + 30000$，
$y = 38000 - 500x$。
所以，这种商品的需求量$y$（件）与单价$x$（元）之间的关系为：$y = 38000 - 500x$，其中$x \geq 60$。
(2) 当价格为70元时，将$x = 70$代入上述关系式$y = 38000 - 500x$中，得到：
$y = 38000 - 500 × 70$，
$y = 38000 - 35000$，
$y = 3000$。
所以，当价格为70元时，这种商品的需求量是3000件。
【答案】：
(1) $y = 38000 - 500x$（$x \geq 60$）；
(2) 3000件。