《2025年暑假作业八年级数学人教版教育科学出版社》

10. 如图所示,$AB = 2$,$P是线段AB$上的一点,分别以$AP$、$BP$为边作正方形,设$AP = x$,两个正方形的面积之和$S与x$的函数关系是____。

答案： 【解析】：已知$AB = 2$，$AP=x$，则$BP=AB - AP=2 - x$。
因为以$AP$、$BP$为边作正方形，正方形的面积等于边长的平方，所以以$AP$为边的正方形面积为$x^{2}$，以$BP$为边的正方形面积为$(2 - x)^{2}$。
两个正方形的面积之和$S=x^{2}+(2 - x)^{2}$，展开可得：
$\begin{aligned}S&=x^{2}+(4 - 4x+x^{2})\\&=x^{2}+x^{2}-4x + 4\\&=2x^{2}-4x + 4\end{aligned}$
由于$P$是线段$AB$上的一点，所以$x$的取值范围是$0\leqslant x\leqslant2$，但题目只要求写出函数关系，故$S = 2x^{2}-4x + 4$。
【答案】：$S = 2x^{2}-4x + 4$

11. 一弹簧不挂重物时长$6cm$,挂上重物后,重物每增加$1kg$,弹簧就伸长$0.25cm$,所挂重物不能超过$10kg$,则弹簧总长$y与重物质量x$之间的函数关系为____。(注明自变量的取值范围)

答案： 【解析】：首先，弹簧的初始长度为6cm。当挂上重物后，每增加1kg的重物，弹簧会伸长0.25cm。
设重物的质量为$x$ kg，那么弹簧的伸长量就是 $0.25x$ cm。
因此，弹簧的总长度 $y$ 可以表示为初始长度加上伸长量，即：
$y = 6 + 0.25x$
接下来，我们需要确定自变量 $x$ 的取值范围。
根据题目，所挂重物不能超过10kg，同时重物的质量显然不能为负，
因此 $x$ 的取值范围是 $0 \leq x \leq 10$。
【答案】：$y = 6 + 0.25x (0 \leq x \leq 10)$

12. 某车间有甲、乙两条生产线。在甲生产线已生产了$200t$成品后,乙生产线开始投入生产,甲、乙两条生产线每天分别生产$20t和30t$成品。
(1)分别求出甲、乙两条生产线各自总产量$y(t)与从乙开始投产以来所用时间x$(天)之间的函数关系式。
(2)在如图所示的直角坐标系中作出上述两个函数的图像。观察图像,分别指出第$10天和第30$天结束时,哪条生产线的总产量高？

答案： 【解析】：
(1) 由题意知，甲生产线在乙开始投产前已经生产了$200t$成品，且每天生产$20t$。
因此，从乙开始投产以来，甲生产线的总产量$y$与所用时间$x$（天）之间的函数关系式为：
$y_{甲} = 200 + 20x$，
乙生产线每天生产$30t$成品，从乙开始投产以来，乙生产线的总产量$y$与所用时间$x$（天）之间的函数关系式为：
$y_{乙} = 30x$。
(2) 根据上述函数关系式，可以在直角坐标系中作出两个函数的图像。
对于甲生产线，当$x=0$时，$y=200$；
当$x=10$时，$y_{甲} = 200 + 20 × 10 = 400$；
当$x=30$时，$y_{甲} = 200 + 20 × 30 = 800$。
对于乙生产线，当$x=0$时，$y=0$；
当$x=10$时，$y_{乙} = 30 × 10 = 300$；
当$x=30$时，$y_{乙} = 30 × 30 = 900$。
在直角坐标系中，可以观察到：
在第$10$天结束时，甲生产线的总产量为$400t$，乙生产线的总产量为$300t$，因此甲生产线的总产量高；
在第$30$天结束时，甲生产线的总产量为$800t$，乙生产线的总产量为$900t$，因此乙生产线的总产量高。
【答案】：
(1) $y_{甲} = 200 + 20x$，$y_{乙} = 30x$。
(2) 第$10$天结束时，甲生产线的总产量高；第$30$天结束时，乙生产线的总产量高。