《2025年暑假作业八年级数学人教版教育科学出版社》

24. 已知$y = \sqrt{2 - x} + \sqrt{x - 2} + 5$,求$\frac{x}{y}$的值。

答案： 【解析】：
由于题目中有$\sqrt{2 - x}$和$\sqrt{x - 2}$，首先需要确定这两个根式都有意义。
对于$\sqrt{2 - x}$有意义，需要$2 - x \geq 0$，即$x \leq 2$。
对于$\sqrt{x - 2}$有意义，需要$x - 2 \geq 0$，即$x \geq 2$。
综合以上两个不等式，我们得到$x = 2$。
将$x = 2$代入原式$y = \sqrt{2 - x} + \sqrt{x - 2} + 5$，
得到$y = \sqrt{2 - 2} + \sqrt{2 - 2} + 5 = 0 + 0 + 5 = 5$。
最后，求$\frac{x}{y}$的值，即$\frac{2}{5}$。
【答案】：$\frac{2}{5}$

1. 计算。
$-3\sqrt{\frac{3m^2 - 3n^2}{2a^2}} ÷ \frac{3}{2}\sqrt{\frac{m + n}{a^2}} × \sqrt{\frac{a^2}{m - n}}(a ＞ 0)$

答案： 【解析】：
首先，我们将原式进行拆解和化简：
$- 3\sqrt{\frac{3m^{2} - 3n^{2}}{2a^{2}}} ÷ \frac{3}{2}\sqrt{\frac{m + n}{a^{2}}} × \sqrt{\frac{a^{2}}{m - n}}$
$= - 3\sqrt{\frac{3(m + n)(m - n)}{2a^{2}}} × \frac{2}{3}\sqrt{\frac{a^{2}}{m + n}} × \sqrt{\frac{a^{2}}{m - n}}$
接下来，我们将所有的根号外的系数移到根号内，并进行合并：
$= - 3 × \frac{2}{3}\sqrt{\frac{3(m + n)(m - n)}{2a^{2}} × \frac{a^{2}}{m + n} × \frac{a^{2}}{m - n}}$
$= - 2\sqrt{\frac{3a^{2}}{2}}$
最后，我们将根号外的系数移到根号内，并化简得到最终结果：
$= - 2 × \frac{\sqrt{6}a}{2}×\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$
$= - 2×\frac{\sqrt{6}}{6}\sqrt{6} × a$
$= - \sqrt{6}a × \frac{\sqrt{6}}{6}×6×\frac{1}{6}×6$
$= - \sqrt{6} × \frac{a\sqrt{6}}{6}×6×\frac{1}{1}×\frac{1}{6}×6$
$= - \sqrt{6}a × \frac{1}{1}×\frac{6}{6}$
$= - \sqrt{6}a$
【答案】：$- \sqrt{6}a$

2. 已知$\sqrt{a + 1} + \sqrt{b - 1} = 0$,求$a^{2015} + b^{2015}$的值。

答案： 【解析】：因为算术平方根具有非负性，即$\sqrt{a + 1} \geq 0$，$\sqrt{b - 1} \geq 0$。又已知$\sqrt{a + 1} + \sqrt{b - 1} = 0$，两个非负数的和为$0$，则这两个非负数分别为$0$。所以可得$\sqrt{a + 1} = 0$，解得$a + 1 = 0$，$a = -1$；$\sqrt{b - 1} = 0$，解得$b - 1 = 0$，$b = 1$。
将$a = -1$，$b = 1$代入$a^{2015} + b^{2015}$，可得$(-1)^{2015} + 1^{2015}$。因为$2015$是奇数，所以$(-1)^{2015} = -1$，$1^{2015} = 1$，则$-1 + 1 = 0$。
【答案】：0