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7. 下列运算中错误的是( )。
A.$\sqrt{2}×\sqrt{3}= \sqrt{6}$
B.$2\sqrt{3}+3\sqrt{2}= 5\sqrt{2}$
C.$\frac{1}{\sqrt{2}}= \frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}}= \sqrt{2}-\sqrt{3}$
A.$\sqrt{2}×\sqrt{3}= \sqrt{6}$
B.$2\sqrt{3}+3\sqrt{2}= 5\sqrt{2}$
C.$\frac{1}{\sqrt{2}}= \frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$\sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}}= \sqrt{2}-\sqrt{3}$
答案：
【解析】：选项A，根据二次根式乘法法则，$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a\geq0$，$b\geq0$），所以$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$，A正确；
选项B，$2\sqrt{3}$与$3\sqrt{2}$不是同类二次根式，不能合并，B错误；
选项C，$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，C正确；
选项D，$\sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}}=|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-\sqrt{3}$（因为$\sqrt{3}＞\sqrt{2}$），D错误。
综上，错误的是B和D。
【答案】：BD
选项B，$2\sqrt{3}$与$3\sqrt{2}$不是同类二次根式，不能合并，B错误；
选项C，$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，C正确；
选项D，$\sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}}=|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-\sqrt{3}$（因为$\sqrt{3}＞\sqrt{2}$），D错误。
综上，错误的是B和D。
【答案】：BD
8. 计算$(\sqrt{x}+\sqrt{x-1})(\sqrt{x}-\sqrt{x-1})$的值是( )。
A.2
B.3
C.4
D.1
A.2
B.3
C.4
D.1
答案：
【解析】：观察原式$(\sqrt{x}+\sqrt{x-1})(\sqrt{x}-\sqrt{x-1})$，其形式符合平方差公式$(a + b)(a - b)=a^2 - b^2$。
这里$a = \sqrt{x}$，$b=\sqrt{x - 1}$，将其代入平方差公式可得：
$\begin{aligned}&(\sqrt{x})^2-(\sqrt{x - 1})^2\\=&x-(x - 1)\\=&x - x+1\\=&1\end{aligned}$
所以该式的值为1。
【答案】：D
这里$a = \sqrt{x}$，$b=\sqrt{x - 1}$，将其代入平方差公式可得：
$\begin{aligned}&(\sqrt{x})^2-(\sqrt{x - 1})^2\\=&x-(x - 1)\\=&x - x+1\\=&1\end{aligned}$
所以该式的值为1。
【答案】：D
9. 如果最简根式$-\sqrt{a+5}与^{2a-b}\sqrt{9-b}$能够进行合并,则$a-b= $ 。
答案：
【解析】：因为最简根式$-\sqrt{a + 5}$与$\sqrt[2a - b]{9 - b}$能够合并，所以它们是同类二次根式。
同类二次根式需满足两个条件：一是根指数相同，二是被开方数相同。
对于$-\sqrt{a + 5}$，其根指数为$2$，被开方数为$a + 5$。
对于$\sqrt[2a - b]{9 - b}$，根指数为$2a - b$，被开方数为$9 - b$。
由此可得方程组：
$\begin{cases}2a - b = 2 \\a + 5 = 9 - b\end{cases}$
解第一个方程$2a - b = 2$，可得$b = 2a - 2$。
将$b = 2a - 2$代入第二个方程$a + 5 = 9 - b$中：
$\begin{aligned}a + 5 &= 9 - (2a - 2) \\a + 5 &= 9 - 2a + 2 \\a + 5 &= 11 - 2a \\a + 2a &= 11 - 5 \\3a &= 6 \\a &= 2\end{aligned}$
将$a = 2$代入$b = 2a - 2$，可得$b = 2×2 - 2 = 2$。
所以$a - b = 2 - 2 = 0$。
【答案】：0
同类二次根式需满足两个条件：一是根指数相同，二是被开方数相同。
对于$-\sqrt{a + 5}$，其根指数为$2$，被开方数为$a + 5$。
对于$\sqrt[2a - b]{9 - b}$，根指数为$2a - b$，被开方数为$9 - b$。
由此可得方程组：
$\begin{cases}2a - b = 2 \\a + 5 = 9 - b\end{cases}$
解第一个方程$2a - b = 2$，可得$b = 2a - 2$。
将$b = 2a - 2$代入第二个方程$a + 5 = 9 - b$中：
$\begin{aligned}a + 5 &= 9 - (2a - 2) \\a + 5 &= 9 - 2a + 2 \\a + 5 &= 11 - 2a \\a + 2a &= 11 - 5 \\3a &= 6 \\a &= 2\end{aligned}$
将$a = 2$代入$b = 2a - 2$，可得$b = 2×2 - 2 = 2$。
所以$a - b = 2 - 2 = 0$。
【答案】：0
10. 计算:$(2\sqrt{7}+5\sqrt{2})(2\sqrt{7}-5\sqrt{2})= $ 。
答案：
【解析】：原式符合平方差公式$(a + b)(a - b)=a^2 - b^2$，其中$a = 2\sqrt{7}$，$b=5\sqrt{2}$。
先计算$a^2=(2\sqrt{7})^2 = 2^2×(\sqrt{7})^2=4×7 = 28$，
再计算$b^2=(5\sqrt{2})^2=5^2×(\sqrt{2})^2 = 25×2=50$，
则原式$=a^2 - b^2=28 - 50=-22$。
【答案】：-22
先计算$a^2=(2\sqrt{7})^2 = 2^2×(\sqrt{7})^2=4×7 = 28$，
再计算$b^2=(5\sqrt{2})^2=5^2×(\sqrt{2})^2 = 25×2=50$，
则原式$=a^2 - b^2=28 - 50=-22$。
【答案】：-22
11. 计算:$(3+2\sqrt{5})^{2}= $ ,$(3\sqrt{6}-2\sqrt{3})^{2}= $ 。
答案：
【解析】：
对于 $(3+2\sqrt{5})^{2}$，我们可以使用完全平方公式 $(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ 来进行计算。
将 $a = 3$，$b = 2\sqrt{5}$ 代入公式，得到：
$(3+2\sqrt{5})^{2} = 3^{2} + 2 × 3 × 2\sqrt{5} + (2\sqrt{5})^{2} = 9 + 12\sqrt{5} + 20 = 29 + 12\sqrt{5}$
对于 $(3\sqrt{6}-2\sqrt{3})^{2}$，我们同样使用完全平方公式 $(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ 来进行计算。
将 $a = 3\sqrt{6}$，$b = 2\sqrt{3}$ 代入公式，得到：
$(3\sqrt{6}-2\sqrt{3})^{2} = (3\sqrt{6})^{2} - 2 × 3\sqrt{6} × 2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^{2} = 54 - 36\sqrt{2} + 12 = 66 - 36\sqrt{2}$
【答案】：
$29 + 12\sqrt{5}$；$66 - 36\sqrt{2}$
对于 $(3+2\sqrt{5})^{2}$，我们可以使用完全平方公式 $(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ 来进行计算。
将 $a = 3$，$b = 2\sqrt{5}$ 代入公式，得到：
$(3+2\sqrt{5})^{2} = 3^{2} + 2 × 3 × 2\sqrt{5} + (2\sqrt{5})^{2} = 9 + 12\sqrt{5} + 20 = 29 + 12\sqrt{5}$
对于 $(3\sqrt{6}-2\sqrt{3})^{2}$，我们同样使用完全平方公式 $(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ 来进行计算。
将 $a = 3\sqrt{6}$，$b = 2\sqrt{3}$ 代入公式，得到：
$(3\sqrt{6}-2\sqrt{3})^{2} = (3\sqrt{6})^{2} - 2 × 3\sqrt{6} × 2\sqrt{3} + (2\sqrt{3})^{2} = 54 - 36\sqrt{2} + 12 = 66 - 36\sqrt{2}$
【答案】：
$29 + 12\sqrt{5}$；$66 - 36\sqrt{2}$
12. 计算:$(1-2\sqrt{3})(1+2\sqrt{3})-(2\sqrt{3}-1)^{2}= $ 。
答案：
【解析】：原式利用平方差公式和完全平方公式展开计算。首先，$(1 - 2\sqrt{3})(1 + 2\sqrt{3}) = 1^2 - (2\sqrt{3})^2 = 1 - 12 = -11$；其次，$(2\sqrt{3} - 1)^2 = (2\sqrt{3})^2 - 2×2\sqrt{3}×1 + 1^2 = 12 - 4\sqrt{3} + 1 = 13 - 4\sqrt{3}$。然后将两部分相减：$-11 - (13 - 4\sqrt{3}) = -11 - 13 + 4\sqrt{3} = -24 + 4\sqrt{3}$。
【答案】：$-24 + 4\sqrt{3}$
【答案】：$-24 + 4\sqrt{3}$
13. 计算:$\sqrt{8}+\sqrt{\frac{1}{3}}-2\sqrt{\frac{1}{2}}= $ 。
答案：
【解析】：先将各项二次根式化为最简二次根式：
$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$2\sqrt{\frac{1}{2}} = 2×\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$
然后进行加减运算：
$\sqrt{8} + \sqrt{\frac{1}{3}} - 2\sqrt{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{2} = (2\sqrt{2} - \sqrt{2}) + \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{2} + \frac{\sqrt{3}}{3}$
【答案】：$\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$2\sqrt{\frac{1}{2}} = 2×\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$
然后进行加减运算：
$\sqrt{8} + \sqrt{\frac{1}{3}} - 2\sqrt{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{2} = (2\sqrt{2} - \sqrt{2}) + \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{2} + \frac{\sqrt{3}}{3}$
【答案】：$\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}$
14. 化简$3\sqrt{8}-5\sqrt{32}$的结果为 。
答案：
【解析】：
首先，我们将给定的根式进行化简。
$3\sqrt{8} = 3\sqrt{4 × 2} = 3 × 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$
$5\sqrt{32} = 5\sqrt{16 × 2} = 5 × 4\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$
所以，原式可以写为：
$3\sqrt{8} - 5\sqrt{32} = 6\sqrt{2} - 20\sqrt{2} = -14\sqrt{2}$
【答案】：$- 14\sqrt{2}$
首先，我们将给定的根式进行化简。
$3\sqrt{8} = 3\sqrt{4 × 2} = 3 × 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$
$5\sqrt{32} = 5\sqrt{16 × 2} = 5 × 4\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$
所以，原式可以写为：
$3\sqrt{8} - 5\sqrt{32} = 6\sqrt{2} - 20\sqrt{2} = -14\sqrt{2}$
【答案】：$- 14\sqrt{2}$
15. 若$a= 3-\sqrt{10}$,则代数式$a^{2}-6a-2$的值为 。
答案：
【解析】：
首先，我们将代数式$a^{2}-6a-2$进行配方，得到：
$a^{2}-6a-2 = (a-3)^{2} - 9 - 2 = (a-3)^{2} - 11$
然后，我们将$a = 3-\sqrt{10}$代入上述表达式中，得到：
$(a-3)^{2} - 11 = (3-\sqrt{10}-3)^{2} - 11 = (-\sqrt{10})^{2} - 11 = 10 - 11 = -1$
【答案】：-1
首先，我们将代数式$a^{2}-6a-2$进行配方，得到：
$a^{2}-6a-2 = (a-3)^{2} - 9 - 2 = (a-3)^{2} - 11$
然后，我们将$a = 3-\sqrt{10}$代入上述表达式中，得到：
$(a-3)^{2} - 11 = (3-\sqrt{10}-3)^{2} - 11 = (-\sqrt{10})^{2} - 11 = 10 - 11 = -1$
【答案】：-1
16. 计算:$(2\sqrt{6}-5)^{10}\cdot(5+2\sqrt{6})^{10}= $ 。
答案：
【解析】：
首先，我们观察到表达式中的两个部分是共轭式，即$(2\sqrt{6} - 5)$和$(5 + 2\sqrt{6})$。
根据平方差公式，我们有：
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$
将$a = 2\sqrt{6}$和$b = 5$代入上式，得到：
$(2\sqrt{6} - 5)(5 + 2\sqrt{6}) = (2\sqrt{6})^2 - 5^2 = 24 - 25 = -1$
因此，原式可以表示为：
$(2\sqrt{6}-5)^{10}\cdot(5+2\sqrt{6})^{10} = [(2\sqrt{6} - 5)(5 + 2\sqrt{6})]^{10}$
$= (-1)^{10} = 1$
【答案】：1
首先，我们观察到表达式中的两个部分是共轭式，即$(2\sqrt{6} - 5)$和$(5 + 2\sqrt{6})$。
根据平方差公式，我们有：
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$
将$a = 2\sqrt{6}$和$b = 5$代入上式，得到：
$(2\sqrt{6} - 5)(5 + 2\sqrt{6}) = (2\sqrt{6})^2 - 5^2 = 24 - 25 = -1$
因此，原式可以表示为：
$(2\sqrt{6}-5)^{10}\cdot(5+2\sqrt{6})^{10} = [(2\sqrt{6} - 5)(5 + 2\sqrt{6})]^{10}$
$= (-1)^{10} = 1$
【答案】：1
17. 已知$xy= 3$,那么$x\sqrt{\frac{y}{x}}+y\sqrt{\frac{x}{y}}$的值是 。
答案：
【解析】：
首先，我们需要确定$x$和$y$的符号。
由于$xy = 3 \gt 0$，说明$x$和$y$同号。
接下来，我们将原式进行化简：
$x\sqrt{\frac{y}{x}} + y\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{x}{|x|}\sqrt{xy} + \frac{y}{|y|}\sqrt{xy}$
由于$x$和$y$同号，我们可以分两种情况讨论：
1. 当$x \gt 0$，$y \gt 0$时，原式变为$\sqrt{xy} + \sqrt{xy} = 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{3}$；
2. 当$x \lt 0$，$y \lt 0$时，原式变为$-\sqrt{xy} - \sqrt{xy} = -2\sqrt{xy} = -2\sqrt{3}$。
【答案】：$\pm 2\sqrt{3}$
首先，我们需要确定$x$和$y$的符号。
由于$xy = 3 \gt 0$，说明$x$和$y$同号。
接下来，我们将原式进行化简：
$x\sqrt{\frac{y}{x}} + y\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{x}{|x|}\sqrt{xy} + \frac{y}{|y|}\sqrt{xy}$
由于$x$和$y$同号，我们可以分两种情况讨论：
1. 当$x \gt 0$，$y \gt 0$时，原式变为$\sqrt{xy} + \sqrt{xy} = 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{3}$；
2. 当$x \lt 0$，$y \lt 0$时，原式变为$-\sqrt{xy} - \sqrt{xy} = -2\sqrt{xy} = -2\sqrt{3}$。
【答案】：$\pm 2\sqrt{3}$
18. 若$x= \sqrt{2}-1$,则$x^{2}+2x+1$的值是 。
答案：
【解析】：将$x = \sqrt{2} - 1$代入式子$x^2 + 2x + 1$，观察发现该式可利用完全平方公式变形为$(x + 1)^2$。
先计算$x + 1$的值：$x + 1 = (\sqrt{2} - 1) + 1 = \sqrt{2}$。
再对$(x + 1)^2$进行计算：$(\sqrt{2})^2 = 2$。
【答案】：2
先计算$x + 1$的值：$x + 1 = (\sqrt{2} - 1) + 1 = \sqrt{2}$。
再对$(x + 1)^2$进行计算：$(\sqrt{2})^2 = 2$。
【答案】：2
19. 已知$a= 3+2\sqrt{2}$,$b= 3-2\sqrt{2}$,则$a^{2}b-ab^{2}= $ 。
答案：
【解析】：首先，观察到要求的式子$a^{2}b - ab^{2}$可以进行因式分解，提取公因式$ab$后得到$ab(a - b)$。接下来，我们需要分别求出$ab$和$a - b$的值。
已知$a = 3 + 2\sqrt{2}$，$b = 3 - 2\sqrt{2}$。
先计算$a - b$：
$\begin{aligned}a - b&=(3 + 2\sqrt{2}) - (3 - 2\sqrt{2})\\&=3 + 2\sqrt{2} - 3 + 2\sqrt{2}\\&=4\sqrt{2}\end{aligned}$
再计算$ab$，这里可以利用平方差公式$(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$，其中$x = 3$，$y = 2\sqrt{2}$：
$\begin{aligned}ab&=(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})\\&=3^2 - (2\sqrt{2})^2\\&=9 - (4×2)\\&=9 - 8\\&=1\end{aligned}$
最后，将$ab = 1$和$a - b = 4\sqrt{2}$代入$ab(a - b)$可得：
$ab(a - b) = 1×4\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$
【答案】：$4\sqrt{2}$
已知$a = 3 + 2\sqrt{2}$，$b = 3 - 2\sqrt{2}$。
先计算$a - b$：
$\begin{aligned}a - b&=(3 + 2\sqrt{2}) - (3 - 2\sqrt{2})\\&=3 + 2\sqrt{2} - 3 + 2\sqrt{2}\\&=4\sqrt{2}\end{aligned}$
再计算$ab$，这里可以利用平方差公式$(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$，其中$x = 3$，$y = 2\sqrt{2}$：
$\begin{aligned}ab&=(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})\\&=3^2 - (2\sqrt{2})^2\\&=9 - (4×2)\\&=9 - 8\\&=1\end{aligned}$
最后，将$ab = 1$和$a - b = 4\sqrt{2}$代入$ab(a - b)$可得：
$ab(a - b) = 1×4\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$
【答案】：$4\sqrt{2}$
20. 计算下列各题。
(1)$\sqrt{7}+2\sqrt{7}+3\sqrt{9×7}$ (2)$3\sqrt{2}+\sqrt{3}-2\sqrt{2}-3\sqrt{3}$
(3)$\sqrt{8}+\sqrt{18}$ (4)$2\sqrt{3}-\sqrt{8}+\frac{1}{2}\sqrt{12}+\frac{1}{5}\sqrt{50}$
(5)$(\sqrt{48}+\sqrt{20})+(\sqrt{12}-\sqrt{5})$ (6)$(\sqrt{5}+6)(3-\sqrt{5})$
(7)$\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{2}$ (8)$\sqrt{72}-4\sqrt{\frac{1}{2}}-\frac{1}{7}\sqrt{98}+\sqrt{1\frac{1}{8}}$
(1)$\sqrt{7}+2\sqrt{7}+3\sqrt{9×7}$ (2)$3\sqrt{2}+\sqrt{3}-2\sqrt{2}-3\sqrt{3}$
(3)$\sqrt{8}+\sqrt{18}$ (4)$2\sqrt{3}-\sqrt{8}+\frac{1}{2}\sqrt{12}+\frac{1}{5}\sqrt{50}$
(5)$(\sqrt{48}+\sqrt{20})+(\sqrt{12}-\sqrt{5})$ (6)$(\sqrt{5}+6)(3-\sqrt{5})$
(7)$\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{2}$ (8)$\sqrt{72}-4\sqrt{\frac{1}{2}}-\frac{1}{7}\sqrt{98}+\sqrt{1\frac{1}{8}}$
答案：
【解析】：
(1)
$\sqrt{7}+2\sqrt{7}+3\sqrt{9 × 7}$
$= \sqrt{7} + 2\sqrt{7} + 3 × 3\sqrt{7}$
$= \sqrt{7} + 2\sqrt{7} + 9\sqrt{7}$
$= 12\sqrt{7}$
(2)
$3\sqrt{2}+\sqrt{3}-2\sqrt{2}-3\sqrt{3}$
$= (3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) + (\sqrt{3} - 3\sqrt{3})$
$= \sqrt{2} - 2\sqrt{3}$
(3)
$\sqrt{8}+\sqrt{18}$
$= 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2}$
$= 5\sqrt{2}$
(4)
$2\sqrt{3}-\sqrt{8}+\frac{1}{2}\sqrt{12}+\frac{1}{5}\sqrt{50}$
$= 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{2}$
$= 3\sqrt{3} - \sqrt{2}$
(5)
$(\sqrt{48}+\sqrt{20})+(\sqrt{12}-\sqrt{5})$
$= 4\sqrt{3} + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{3} - \sqrt{5}$
$= 6\sqrt{3} + \sqrt{5}$
(6)
$(\sqrt{5}+6)(3-\sqrt{5})$
$= 3\sqrt{5} - 5 + 18 - 6\sqrt{5}$
$= 13 - 3\sqrt{5}$
(7)
$\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{2}$
$= \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{2}$
$= -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}$
(8)
$\sqrt{72}-4\sqrt{\frac{1}{2}}-\frac{1}{7}\sqrt{98}+\sqrt{1\frac{1}{8}}$
$= 6\sqrt{2} - 2\sqrt{2} - \sqrt{2} + \frac{3\sqrt{2}}{4}$
$= \frac{15\sqrt{2}}{4}$
【答案】：
(1) $12\sqrt{7}$
(2) $\sqrt{2} - 2\sqrt{3}$
(3) $5\sqrt{2}$
(4) $3\sqrt{3} - \sqrt{2}$
(5) $6\sqrt{3} + \sqrt{5}$
(6) $13 - 3\sqrt{5}$
(7) $-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}$
(8) $\frac{15\sqrt{2}}{4}$
(1)
$\sqrt{7}+2\sqrt{7}+3\sqrt{9 × 7}$
$= \sqrt{7} + 2\sqrt{7} + 3 × 3\sqrt{7}$
$= \sqrt{7} + 2\sqrt{7} + 9\sqrt{7}$
$= 12\sqrt{7}$
(2)
$3\sqrt{2}+\sqrt{3}-2\sqrt{2}-3\sqrt{3}$
$= (3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) + (\sqrt{3} - 3\sqrt{3})$
$= \sqrt{2} - 2\sqrt{3}$
(3)
$\sqrt{8}+\sqrt{18}$
$= 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2}$
$= 5\sqrt{2}$
(4)
$2\sqrt{3}-\sqrt{8}+\frac{1}{2}\sqrt{12}+\frac{1}{5}\sqrt{50}$
$= 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{2}$
$= 3\sqrt{3} - \sqrt{2}$
(5)
$(\sqrt{48}+\sqrt{20})+(\sqrt{12}-\sqrt{5})$
$= 4\sqrt{3} + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{3} - \sqrt{5}$
$= 6\sqrt{3} + \sqrt{5}$
(6)
$(\sqrt{5}+6)(3-\sqrt{5})$
$= 3\sqrt{5} - 5 + 18 - 6\sqrt{5}$
$= 13 - 3\sqrt{5}$
(7)
$\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{2}$
$= \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{2}$
$= -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}$
(8)
$\sqrt{72}-4\sqrt{\frac{1}{2}}-\frac{1}{7}\sqrt{98}+\sqrt{1\frac{1}{8}}$
$= 6\sqrt{2} - 2\sqrt{2} - \sqrt{2} + \frac{3\sqrt{2}}{4}$
$= \frac{15\sqrt{2}}{4}$
【答案】：
(1) $12\sqrt{7}$
(2) $\sqrt{2} - 2\sqrt{3}$
(3) $5\sqrt{2}$
(4) $3\sqrt{3} - \sqrt{2}$
(5) $6\sqrt{3} + \sqrt{5}$
(6) $13 - 3\sqrt{5}$
(7) $-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}$
(8) $\frac{15\sqrt{2}}{4}$
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