《2025年暑假作业八年级数学人教版教育科学出版社》

1. 一次函数的图像交 $ x $ 轴于 $ (2,0) $,交 $ y $ 轴于 $ (0,3) $,当函数值大于 $ 0 $ 时,$ x $ 的取值范围是( )。

A.$ x ＞ 2 $
B.$ x ＜ 2 $
C.$ x ＞ 3 $
D.$ x ＜ 3 $

答案： 【解析】：
一次函数的通式为$y=kx+b$，
由题可知，函数交$x$轴于点$(2,0)$，即当$x=2$时，$y=0$；函数交$y$轴于点$(0,3)$，即当$x=0$时，$y=3$，
将这两点代入通式，得到两个方程：
$\begin{cases}2k+b=0,\\b=3.\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}k=-\frac{3}{2},\\b=3.\end{cases}$
因此，函数表达式为$y=-\frac{3}{2}x+3$，
要求函数值大于0，即：
$-\frac{3}{2}x+3 \gt 0$，
解得$x \lt 2$。
【答案】：B.$x \lt 2$

2. 若一次函数 $ y = kx + b $ 的图像交 $ y $ 轴于正半轴,且 $ y $ 的值随 $ x $ 值的增大而减小,则( )。

A.$ k ＞ 0 $,$ b ＞ 0 $
B.$ k ＞ 0 $,$ b ＜ 0 $
C.$ k ＜ 0 $,$ b ＞ 0 $
D.$ k ＜ 0 $,$ b ＜ 0 $

答案： 【解析】：
对于一次函数 $y = kx + b$，
当 $k ＞ 0$ 时，函数是增函数，即 $y$ 的值随 $x$ 的增大而增大；
当 $k ＜ 0$ 时，函数是减函数，即 $y$ 的值随 $x$ 的增大而减小。
由题意知，$y$ 的值随 $x$ 的增大而减小，所以 $k ＜ 0$。
再考虑函数与 $y$ 轴的交点，即当 $x = 0$ 时的 $y$ 值。
由 $y = kx + b$ 得，当 $x = 0$ 时，$y = b$。
因为题目中给出函数图像交 $y$ 轴于正半轴，所以 $b ＞ 0$。
综上，$k ＜ 0$ 且 $b ＞ 0$。
【答案】：C

3. 若函数 $ y = (m - 2)x^{n - 1} + n $ 是一次函数,则 $ m $、$ n $ 应满足的条件是( )。

A.$ m \neq 2 $ 且 $ n = 0 $
B.$ m = 2 $ 且 $ n = 2 $
C.$ m \neq 2 $ 且 $ n = 2 $
D.$ m = 2 $ 且 $ n = 0 $

答案： 【解析】：
一次函数的标准形式为 $ y = kx + b $，其中 $ k $ 是斜率，$ b $ 是截距，且 $ k \neq 0 $。
对于给定的函数 $ y = (m - 2)x^{n - 1} + n $，要使其为一次函数，需要满足以下条件：
$x$ 的指数应为 1，即 $ n - 1 = 1 $，从而得出 $ n = 2 $。
$x$ 的系数 $ m - 2 $ 不应为 0，即 $ m - 2 \neq 0 $，从而得出 $ m \neq 2 $。
综合以上两点，得到 $ m \neq 2 $ 且 $ n = 2 $。
【答案】：C

4. 将直线 $ y = 2x $ 向右平移 $ 1 $ 个单位后所得图像对应的函数解析式为( )。

A.$ y = 2x - 1 $
B.$ y = 2x - 2 $
C.$ y = 2x + 1 $
D.$ y = 2x + 2 $

答案： 【解析】：根据函数图像平移规律“左加右减”，对于直线$y = 2x$，向右平移$1$个单位，需要在$x$上减去$1$，即得到$y = 2(x - 1)$，化简后为$y = 2x - 2$。
【答案】：B

5. 如图所示,函数 $ y = 2x $ 和 $ y = ax + 4 $ 的图像相交于点 $ A(m,3) $,则不等式 $ 2x ＜ ax + 4 $ 的解集为( )。

A.$ x ＜ \frac{3}{2} $
B.$ x ＜ 3 $
C.$ x ＞ \frac{3}{2} $
D.$ x ＞ 3 $

答案： 【解析】：
1. 已知点 $A(m, 3)$ 在函数 $y = 2x$ 上，因此 $3 = 2m$，解得 $m = \frac{3}{2}$。
2. 将点 $A\left(\frac{3}{2}, 3\right)$ 代入 $y = ax + 4$，得 $3 = a \cdot \frac{3}{2} + 4$，解得 $a = -\frac{2}{3}$。
3. 现在我们需要解不等式 $2x ＜ ax + 4$，即 $2x ＜ -\frac{2}{3}x + 4$。
4. 将不等式整理为 $2x + \frac{2}{3}x ＜ 4$，即 $\frac{8}{3}x ＜ 4$，解得 $x ＜ \frac{3}{2}$。
【答案】：A

6. 某航空公司规定,旅客乘机所携带行李的质量 $ x(kg) $ 与其运费 $ y $(元)由如图所示的一次函数图像确定,那么旅客可携带的免费行李的最大质量为( )。

A.$ 20kg $

B.$ 25kg $
C.$ 28kg $
D.$ 30kg $

答案： 【解析】：设一次函数的解析式为$y = kx + b$（$k \neq 0$）。
由图像可知，当$x = 30$时，$y = 300$；当$x = 50$时，$y = 900$。
将$(30, 300)$和$(50, 900)$代入解析式可得方程组：
$\begin{cases}30k + b = 300 \\50k + b = 900\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去$b$：
$(50k + b) - (30k + b) = 900 - 300$
$20k = 600$
解得$k = 30$。
将$k = 30$代入$30k + b = 300$：
$30×30 + b = 300$
$900 + b = 300$
解得$b = -600$。
所以一次函数的解析式为$y = 30x - 600$。
免费行李时运费$y = 0$，令$y = 0$，则：
$30x - 600 = 0$
$30x = 600$
解得$x = 20$。
即旅客可携带的免费行李的最大质量为$20kg$。
【答案】：A