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12. 如图所示,四边形$ABCD$是平行四边形,$DB⊥AD$,$AD = 8cm$,$BD = 12cm$,求$BC$、$AC$的长。
答案：
【解析】：因为四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形对边相等的性质，所以$BC = AD$。已知$AD = 8cm$，因此$BC = 8cm$。
由于$DB⊥AD$，所以$\triangle ADB$是直角三角形。在$Rt\triangle ADB$中，$AD = 8cm$，$BD = 12cm$，根据勾股定理$AB^2=AD^2 + BD^2$，可得$AB=\sqrt{AD^{2}+BD^{2}}=\sqrt{8^{2}+12^{2}}=\sqrt{64 + 144}=\sqrt{208}=4\sqrt{13}cm$。
在平行四边形$ABCD$中，对角线互相平分，所以$AO = OC$，$BO = OD=\frac{BD}{2}=\frac{12}{2}=6cm$。
在$Rt\triangle AOD$中（因为$DB⊥AD$，所以$\angle ADO = 90^{\circ}$），$AD = 8cm$，$OD = 6cm$，根据勾股定理$AO^2=AD^2 + OD^2$，则$AO=\sqrt{AD^{2}+OD^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{64 + 36}=\sqrt{100}=10cm$。
因为$AC = 2AO$，所以$AC=2×10 = 20cm$。
【答案】：$BC = 8cm$，$AC = 20cm$
由于$DB⊥AD$，所以$\triangle ADB$是直角三角形。在$Rt\triangle ADB$中，$AD = 8cm$，$BD = 12cm$，根据勾股定理$AB^2=AD^2 + BD^2$，可得$AB=\sqrt{AD^{2}+BD^{2}}=\sqrt{8^{2}+12^{2}}=\sqrt{64 + 144}=\sqrt{208}=4\sqrt{13}cm$。
在平行四边形$ABCD$中，对角线互相平分，所以$AO = OC$，$BO = OD=\frac{BD}{2}=\frac{12}{2}=6cm$。
在$Rt\triangle AOD$中（因为$DB⊥AD$，所以$\angle ADO = 90^{\circ}$），$AD = 8cm$，$OD = 6cm$，根据勾股定理$AO^2=AD^2 + OD^2$，则$AO=\sqrt{AD^{2}+OD^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{64 + 36}=\sqrt{100}=10cm$。
因为$AC = 2AO$，所以$AC=2×10 = 20cm$。
【答案】：$BC = 8cm$，$AC = 20cm$
13. 如图所示,$\triangle ABC$中,中线$BD$、$CE交于点O$,$F$、$G分别为OB$、$OC$的中点。求证：四边形$DEFG$为平行四边形。
答案：
【解析】：
1. 由于$BD$和$CE$是$\triangle ABC$的中线，因此$D$和$E$分别是$AC$和$AB$的中点。
2. 根据中点定理，$DE$平行于$BC$且$DE=\frac{1}{2}BC$。
3. 同理，$F$和$G$分别是$OB$和$OC$的中点，因此$FG$平行于$BC$且$FG=\frac{1}{2}BC$。
4. 由于$DE$和$FG$都平行于$BC$且长度相等，因此$DE$平行于$FG$且$DE=FG$。
5. 根据平行四边形的定义，四边形$DEFG$的对边平行且相等，因此四边形$DEFG$是平行四边形。
【答案】：四边形$DEFG$为平行四边形。
1. 由于$BD$和$CE$是$\triangle ABC$的中线，因此$D$和$E$分别是$AC$和$AB$的中点。
2. 根据中点定理，$DE$平行于$BC$且$DE=\frac{1}{2}BC$。
3. 同理，$F$和$G$分别是$OB$和$OC$的中点，因此$FG$平行于$BC$且$FG=\frac{1}{2}BC$。
4. 由于$DE$和$FG$都平行于$BC$且长度相等，因此$DE$平行于$FG$且$DE=FG$。
5. 根据平行四边形的定义，四边形$DEFG$的对边平行且相等，因此四边形$DEFG$是平行四边形。
【答案】：四边形$DEFG$为平行四边形。
14. 如图所示,$□ ABCD$中,$E$、$F分别为AD$、$BC$的中点,$CE$、$AF分别交BD于M$、$N$。求证：$BN = MN = DM$。
答案：
【解析】：证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AD = BC$，$AB// CD$，$AB = CD$。
∵$E$、$F$分别为$AD$、$BC$的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AD$，$CF=\frac{1}{2}BC$，
又
∵$AD = BC$，
∴$AE = CF$。
∵$AD// BC$，即$AE// CF$，
∴四边形$AECF$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴$AF// CE$（平行四边形的对边平行）。
在$\triangle ADN$中，
∵$AF// CE$（即$EM// AN$），且$E$是$AD$的中点，
∴$M$是$DN$的中点（过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边），
∴$DM = MN$。
在$\triangle BCM$中，
∵$AF// CE$（即$FN// CM$），且$F$是$BC$的中点，
∴$N$是$BM$的中点（过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边），
∴$BN = MN$。
综上，$BN = MN = DM$。
【答案】：$BN = MN = DM$
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AD = BC$，$AB// CD$，$AB = CD$。
∵$E$、$F$分别为$AD$、$BC$的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AD$，$CF=\frac{1}{2}BC$，
又
∵$AD = BC$，
∴$AE = CF$。
∵$AD// BC$，即$AE// CF$，
∴四边形$AECF$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴$AF// CE$（平行四边形的对边平行）。
在$\triangle ADN$中，
∵$AF// CE$（即$EM// AN$），且$E$是$AD$的中点，
∴$M$是$DN$的中点（过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边），
∴$DM = MN$。
在$\triangle BCM$中，
∵$AF// CE$（即$FN// CM$），且$F$是$BC$的中点，
∴$N$是$BM$的中点（过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边），
∴$BN = MN$。
综上，$BN = MN = DM$。
【答案】：$BN = MN = DM$
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