《2025年暑假作业八年级数学人教版教育科学出版社》

26. 有一个矩形花池,已知其面积为 $ 48 \mathrm { m } ^ { 2 } $,其对角线长为 10m,为建栅栏,要计算这个矩形花池的周长,你能算出来吗?

答案： 【解析】：设矩形花池的长为 $x \, \text{m}$，宽为 $y \, \text{m}$。
根据题目条件，可以列出以下两个方程：
矩形的面积 $xy = 48$，
矩形的对角线长 $\sqrt{x^2 + y^2} = 10$。
从第二个方程，可以得到 $x^2 + y^2 = 100$。
利用平方和公式，有 $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$。
代入 $x^2 + y^2 = 100$ 和 $xy = 48$，
得到 $(x + y)^2 = 100 + 2 × 48 = 196$。
因此，$x + y = \sqrt{196} = 14$（负值舍去，因为长度不能为负）。
所以，矩形花池的周长为 $2(x + y) = 2 × 14 = 28 \, \text{m}$。
【答案】：$28 \, \text{m}$。

27. 如图所示,铁路上 A、B 两点相距 25km,C、D 为两村庄,$ D A \perp A B $于 A,$ C B \perp A B $于 B,已知 $ D A = 15 \mathrm { km } $,$ C B = 10 \mathrm { km } $,现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E,使得 C、D 两村到 E 站的距离相等,则 E 站应建在离 A 点多少公里处?

答案： 【解析】：
设 $AE = x $km，则 $BE=(25-x) $km。
由于 $DA \perp AB$，$CB \perp AB$，
根据勾股定理，可以列出C、D两村到E站的距离相等的等式：
$DE^2 = AE^2 + AD^2$，
$CE^2 = BE^2 + BC^2$，
由于 $DE = CE$，
所以：$AE^2 + AD^2 = BE^2 + BC^2$，
代入已知数值：
$x^2 + 15^2 = (25-x)^2 + 10^2$，
$x^2 + 225 = 625 - 50x + x^2 + 100$，
$225= 625 - 50x + 100$，
$50x = 500$，
$x = 10$，
因此，E站应建在离A点10公里处。
【答案】：10

28. 旗杆顶端的绳子垂到地面还多 1m,把绳子的下端拉开 5m 后,下端刚好接触地面,求旗杆的高度。

答案： 【解析】：设旗杆的高度为$x$米，那么绳子的长度为$(x+1)$米。
当把绳子的下端拉开5米后，它刚好接触地面，此时旗杆、拉开的绳子和地面形成一个直角三角形。
旗杆为直角边，长度为$x$米；拉开的绳子为斜边，长度为$(x+1)$米；另一条直角边为5米。
根据勾股定理，有：
$x^2 + 5^2 = (x + 1)^2$
$x^2 + 25 = x^2 + 2x + 1$
$2x = 24$
$x = 12$
所以，旗杆的高度为12米。
【答案】：12米