《2025年实验班提优训练暑假衔接版五升六年级数学北师大版》

例 一个零件形状、大小如右图。你能算出它的体积和表面积吗？(单位:厘米)
思路点拨 (1)可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积,左边的长方体体积是 $10×4×2 = 80$(立方厘米),右边的长方体的体积是 $10×(6 - 2)×2 = 80$(立方厘米),相加即可求解。
(2)求这个零件的表面积,可以看出朝上的两个面的面积和与朝下的一个面的面积相等,上、下两个面的面积和为 $6×10×2 = 120$(平方厘米);朝右的两个面的面积和与朝左的一个面的面积相等,左、右两个面的面积和为 $4×10×2 = 80$(平方厘米);前、后两个面的面积和为 $4×2×2+(6 - 2)×2×2 = 32$(平方厘米),相加即可求解。
答案详解 体积:$10×4×2+10×(6 - 2)×2 = 160$(立方厘米)
表面积:$[10×6+10×4+4×2+(6 - 2)×2]×2 = 232$(平方厘米)
答:它的体积是 160 立方厘米,表面积是 232 平方厘米。

答案： **体积**：
- 把零件沿虚线分成两部分，左边长方体体积根据公式$V = a\times b\times c$（$a$、$b$、$c$分别为长方体的长、宽、高），可得$10×4×2 = 80$立方厘米。
- 右边长方体的宽为$6 - 2 = 4$厘米，其体积为$10×(6 - 2)×2 = 80$立方厘米。
- 零件总体积为两部分体积之和，即$80 + 80 = 160$立方厘米。
- **表面积**：
- 上、下两个面：朝上的两个面的面积和与朝下的一个面的面积相等，根据长方形面积公式$S = a\times b$，上、下两个面的面积和为$6×10×2 = 120$平方厘米。
- 左、右两个面：朝右的两个面的面积和与朝左的一个面的面积相等，左、右两个面的面积和为$4×10×2 = 80$平方厘米。
- 前、后两个面：前面由两部分组成，一部分面积为$4×2$，另一部分面积为$(6 - 2)×2$，后面与前面面积相等，所以前、后两个面的面积和为$[4×2+(6 - 2)×2]×2 = 32$平方厘米。
- 零件表面积为这三部分面积之和，即$120 + 80 + 32 = 232$平方厘米，也可根据公式$S=(ab + ah + bh)×2$（$a$、$b$、$h$分别为长方体的长、宽、高，这里把组合体看作一个大的长方体来计算表面积，长为$10$、宽为$6$、高为$4$，但要减去重合部分$2×2×2$，$10×6+10×4+4×2+(6 - 2)×2]×2 = 232$平方厘米。
体积：$10×4×2+10×(6 - 2)×2 = 160$（立方厘米）
表面积：$[10×6+10×4+4×2+(6 - 2)×2]×2 = 232$（平方厘米）
答：它的体积是$160$立方厘米，表面积是$232$平方厘米。

1. 有一个长 8 厘米、宽 1 厘米、高 3 厘米的长方体木块,在它上端的左、右两角各切掉一个小正方体(如右下图,单位:厘米),切掉小正方体后的表面积和体积各是多少?

答案： 表面积:$(8×1+1×3+8×3)×2-1×1×4=66$(平方厘米)
体积:$8×3×1-1×1×1×2=22$(立方厘米)

2. 把一个长 25 厘米、宽 10 厘米、高 4 厘米的长方体木块锯成若干个大小相等的小正方体,然后正好拼成一个大正方体。这个大正方体的表面积是多少平方厘米?

答案： 长方体体积:$25×10×4=1000$(立方厘米)
因为$1000=10×10×10$,所以大正方体棱长为 10 厘米。
大正方体表面积:$10×10×6=600$(平方厘米)

例 有一个长方体形状的零件,中间挖去一个正方体形状的孔(如右图)。你能算出这个零件的体积和表面积吗？(单位:cm)
思路点拨 (1)原长方体的体积是 $8×5×6 = 240(cm^{3})$,由于挖去一个正方体形状的孔,所以体积减少 $2×2×2 = 8(cm^{3})$。
(2)原长方体的表面积是 $(8×5+8×6+5×6)×2 = 236(cm^{2})$,由于挖去一个正方体形状的孔,因此它的表面积增加了 4 个 $(2×2)cm^{2}$。
答案详解 体积:$8×5×6 - 2×2×2 = 232(cm^{3})$
表面积:$(8×5+8×6+5×6)×2+2×2×4 = 252(cm^{2})$
答:这个零件的体积是 $232cm^{3}$,表面积是 $252cm^{2}$。

答案： 1. 计算体积：
- 先根据长方体体积公式$V = a×b×h$（其中$a$、$b$、$h$分别为长方体的长、宽、高），算出原长方体体积为$8×5×6 = 240(cm^{3})$。
- 再根据正方体体积公式$V = a×a×a$（其中$a$为正方体的棱长），算出挖去的正方体孔的体积为$2×2×2 = 8(cm^{3})$。
- 最后用长方体体积减去正方体孔的体积，得到零件体积为$8×5×6 - 2×2×2$。
2. 计算表面积：
- 先根据长方体表面积公式$S=(ab + ah + bh)×2$（其中$a$、$b$、$h$分别为长方体的长、宽、高），算出原长方体表面积为$(8×5 + 8×6 + 5×6)×2 = 236(cm^{2})$。
- 由于挖去一个正方体形状的孔，会增加$4$个边长为$2cm$的正方形的面积，每个正方形面积为$2×2$，所以增加的面积为$2×2×4$。
- 最后用长方体表面积加上增加的面积，得到零件表面积为$(8×5 + 8×6 + 5×6)×2+2×2×4$。
体积：$8×5×6 - 2×2×2 = 232(cm^{3})$
表面积：$(8×5 + 8×6 + 5×6)×2+2×2×4 = 252(cm^{2})$
答：这个零件的体积是$232cm^{3}$，表面积是$252cm^{2}$。