《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

25. (14分)如图,函数$y = \frac{k}{x}(k \neq 0,x ＞ 0)的图象过点A(4,n)和点B(2n + 1,\frac{8}{5})$.
(1)求$n和k$的值.
(2)将直线$OA向上平移得到直线DE$,交$x轴于点D$,交$y轴于点E$,交$y = \frac{k}{x}(k \neq 0,x ＞ 0)于点C$,若$S_{\triangle ACO} = 6$,求直线$DE$的函数解析式.
(3)在(2)的条件下,第二象限内是否存在点$F$,使得$\triangle DEF$为等腰直角三角形? 若存在,请直接写出点$F$的坐标;若不存在,请说明理由.

答案： $(1)$ $n = 2$，$k = 8$。
$(2)$ 直线$DE$的函数解析式为$y=\frac{1}{2}x + 6$。
$(3)$ 存在，点$F$的坐标为$(-6,12)$或$(-18,6)$或$(-6,18)$。