《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

24. (12分)已知实数$a$,$m$,$n满足m(m+a)= n(n+1)$.
(1)若$a= 1$,求$m$,$n$的数量关系.
(2)若$m$,$n$为正整数,则$a$的值能否等于3? 请说明理由.

答案：
(1)$m = n$或$m + n=-1$；
(2)$a$的值不能等于$3$，理由如上述解析。

25. (14分)如图1,抛物线$y= \frac{1}{2}x^{2}+bx+c与x轴交于点A$,点$B(6,0)$(点$A位于点B$左侧),与$y轴交于点C$,且$OB= OC$.
(1)求$b$,$c$的值;
(2)连接$BC$,点$P是直线BC$下方抛物线上的一点,连接$AC$,$AP$,$PB$.
①如图2,$AP与BC交于点M$,若$S_{\triangle ACM}-S_{\triangle PBM}= 8$,求此时点$P$的坐标;
②如图3,过点$P作PQ// AC交BC于点Q$,连接$AQ$,求$S_{\triangle PAQ}+S_{\triangle PBQ}$的最大值.

答案： $(1)$$\boldsymbol{b=-2}$，$\boldsymbol{c = - 6}$；
$(2)$①$\boldsymbol{P(2 + 2\sqrt{2},-4)}$；②$\boldsymbol{\frac{141}{4}}$。