《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

23. (10分)在平面直角坐标系中,$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$,$C(x_3,y_3)是反比例函数y = \frac{k}{x}(k \neq 0)$图象上的三点,且$x_1 + x_2 = 0$.
(1)若$x_1y_2 = -2$,求$k$的值;
(2)若$x_1 = y_3$,求证:$x_3 + y_2 = 0$.

答案：
(1)$k$的值为$2$；
(2)证明过程如上述，可证得$x_3 + y_2 = 0$。

24. (12分)【阅读理解】求证:对于任意正实数$a$,$b$,$a + b \geq 2\sqrt{ab}$.
证明:$\because (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0$,
$\therefore a - 2\sqrt{ab} + b \geq 0$.
$\therefore a + b \geq 2\sqrt{ab}$(只有当$a = b$时,$a + b = 2\sqrt{ab}$).
推论:在$a + b \geq 2\sqrt{ab}$($a$,$b$均为正实数)中,若$ab为定值p$,则$a + b \geq 2\sqrt{p}$;当$a = b$时,$a + b有最小值2\sqrt{p}$.
根据上述内容,回答下列问题:
问题1:若$m ＞ 0$,当$m = $____时,$m + \frac{16}{m}$有最小值为____.
问题2:已知$x ＞ 2$,试求出函数$y = x + \frac{9}{x - 2}$的最小值.
问题3:如图,已知点$A(-2,0)$,$B(0,-3)$,点$P为双曲线y = \frac{6}{x}$在第一象限内的点.过点$P作PC \perp x轴于点C$,$PD \perp y轴于点D$.试求出四边形$ABCD$面积的最小值,并说明此时四边形$ABCD$的形状.

答案： - 问题1：$4$；$8$。
- 问题2：函数$y=x+\frac{9}{x - 2}$的最小值为$8$。
问题3：四边形$ABCD$面积的最小值为$12$，此时四边形$ABCD$是菱形。