《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

20. (8分)如图,已知:$△ABC$.
求作:$\odot O$,使点O在AC上,$∠AOB= 2∠C$,且与BC相切(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).

答案： 作出符合条件的$\odot O$（作图痕迹略，按照上述步骤作图）。

21. (8分)我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆.如图,将$△ABC$放在边长均为1的小正方形网格中,点A,B,C均落在格点上.
(1)用无刻度直尺画出$△ABC$的最小覆盖圆的圆心O(不写作法,保留作图痕迹);
(2)用圆规画出$△ABC的最小覆盖圆\odot O$,则$\odot O$的半径为____,$∠BOC= $____;
(3)在(2)的条件下,若将扇形BOC围成一个圆锥的侧面,求该圆锥的底面圆的半径(结果保留根号).

答案：
(2)$2\sqrt{2}$，$90^{\circ}$；
(3)该圆锥底面圆的半径为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。

22. (10分)如图,在$△ABC$中,$AB= AC$,O是底边BC的中点,腰AB与$\odot O$相切于点D.
(1)求证:AC是$\odot O$的切线;
(2)若$\odot O$的半径为2,$∠C= 45^{\circ }$,求图中阴影部分的面积.

答案：
(1) 证明如上；
(2) 阴影部分面积为$4 - \pi$。

23. (10分)如图,在$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ },AB= c,AC= b,BC= a$,$\odot O是△ABC$的内切圆,求$\odot O$的半径r(用含a,b,c的代数式表示).
(1)小旭同学用面积法,可以构建关于r的方程____,解得$r= $____(结果用含a,b,c的代数式表示);
小辰同学由切线长定理,可以构建关于r的方程____,解得$r= $____(结果用含a,b,c的代数式表示).
(2)两名同学得到的答案相等吗? 若相等,请给出证明.

答案：
(1) $\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}cr$，$\frac{ab}{a + b + c}$；$(b - r)+(a - r)=c$，$\frac{a + b - c}{2}$。
(2) 两名同学得到的答案相等，证明如上。