《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

10. 已知 $ x_{0} $ 是一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0) $ 的实数根,$ \Delta = b^{2} - 4ac $,设 $ M = (2ax_{0} + b)^{2} $,则下列判断正确的是 ()

A. $ 2M = \Delta $
B. $ M = 2\Delta $
C. $ M - \Delta = 0 $
D. $ M + \Delta = 0 $

答案： C

11. 方程 $ x^{2} - 36 = 0 $ 的根是______.

答案： $x_{1}=6$，$x_{2}=-6$

12. 将方程 $ 4x(x + 1) = 3x^{2} - 3 $ 化为一般式是______.

答案： $x^{2} + 4x + 3 = 0$

13. 若 $ m $ 是方程 $ x^{2} + 4x - 1 = 0 $ 的一个根,则 $ (m + 5)(m - 1) $ 的值为______.

答案： $-4$

14. 如图,这是某停车场的平面示意图,停车场外围的长为30m,宽为19m,停车场内车道的宽度都相等. 若停车位的总占地面积为 $ 390m^{2} $,设车道宽度为 $ x $(单位:m),则可列方程为______.

答案： $\boldsymbol{30(19 - x)=390}$

15. 自然界的植物生长具有神奇的规律. 比如某种植物的主干长出若干数目的支干,每条支干又长出同样数目的小分支. 若主干、支干和小分支的总数是43,则这种植物每条支干长出的小分支的条数为______.

答案： $6$

16. 对于关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0) $,有下列说法:
①若 $ a - b + c = 0 $,则它有一个根为 -1；
②若方程 $ ax^{2} + c = 0 $ 有两个不等的实数根,则方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 必有两个不等的实根；
③若 $ c $ 是方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 的一个根,则一定有 $ ac + b + 1 = 0 $ 成立；
④若 $ b = 2a + 3c $,则一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $ 有两个不等的实数根.
其中正确的有______(填序号).

答案： ①②④

17. (8分)解下列方程:
(1) $ x^{2} + 3x - 2 = 0 $；
(2) $ (x - 2)^{2} + x(x - 2) = 0 $.

答案：
(1) $x_{1}=\frac{-3 + \sqrt{17}}{2}$，$x_{2}=\frac{-3 - \sqrt{17}}{2}$；
(2) $x_{1}=2$，$x_{2}=1$。