《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

24. (12分)古代建筑中的数学:古亭探“优”.
【了解】
“江山无限景,都聚一亭中.”八角亭是典型的中国八棱形楼阁式建筑,其结构稳固,匀称,有利于减弱风力,抵御地震,如图1.将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八边形.
【探索】
先将正方形ABCD,EFGH完全重合,再将正方形EFGH绕其中心旋转一定的角度,就得到了正八边形IJKLMNOP,如图2,这种构造正八边形的方法称为“四转八法”.
(1)旋转的角度最小为____$^{\circ }$.
(2)若正八边形IJKLMNOP的边长为2,则正方形ABCD的边长为____.
(3)在(2)的条件下,连接AC,则AC与AO之间有怎样的数量关系? 请说明理由.

【作图】
(4)如图3,已知正方形ABCD,请你利用无刻度直尺和圆规作一个正八边形,并使其所有顶点均落在正方形ABCD的边上(保留作图痕迹,并写出必要的说明).

答案： $(1)$$\boldsymbol{45}$；
$(2)$$\boldsymbol{2 + 2\sqrt{2}}$；
$(3)$$\boldsymbol{AC = 2AO}$；
$(4)$作图步骤及说明见上述解析。