《2025年阳光同学分层设计九年级数学全一册人教版福建专版》

25. (14分)如图,在$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,经过A,C两点的$\odot O$与边AB交于点D,与边BC交于点E,过点D作$\odot O$的切线,与BC交于点F,且$DF// AC$,连接DO并延长与AC交于点H.
(1)求证:$DF= \frac {1}{2}AC$;
(2)连接CD,AE,若AE平分$∠CAB$,求证:$△ACD$是等边三角形;
(3)在(2)的条件下,若$DF= 3$,求EF的长.

答案： $(1)$ 证明过程如上述解析，证得$DF=\frac{1}{2}AC$；
$(2)$ 证明过程如上述解析，证得$\triangle ACD$是等边三角形；
$(3)$ $EF$的长为$\boldsymbol{3\sqrt{3}}$。