《2025年名校作业九年级数学下册北师大版》

1. 停车难已成为城市病之一. 如图是一辆小汽车靠墙停放的示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.6 m. 若该汽车车门宽AO为1.2 m，则该侧车门可以打开的最大角度为（ ）

A. 30°
B. 45°
C. 50°
D. 60°

答案： A 解析 根据题意，得$\sin\angle AOB=\frac{0.6}{1.2}=\frac{1}{2}$.
$\therefore\angle AOB = 30^{\circ}$，即该侧车门可以打开的最大角度为$30^{\circ}$.

2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件求出直角三角形的其他元素：
（1）a=8$\sqrt{5}$，b=8$\sqrt{15}$；
（2）a=5$\sqrt{2}$，c=10.

答案： 解：
(1)$\because\angle C = 90^{\circ},a = 8\sqrt{5},b = 8\sqrt{15}$，
$\therefore c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{(8\sqrt{5})^{2}+(8\sqrt{15})^{2}} = 16\sqrt{5}$，$\tan A=\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan B=\frac{b}{a}=\sqrt{3}$.
$\therefore\angle A = 30^{\circ},\angle B = 60^{\circ}$.
(2)$\because\angle C = 90^{\circ},a = 5\sqrt{2},c = 10$，
$\therefore b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{10^{2}-(5\sqrt{2})^{2}} = 5\sqrt{2}$.
$\therefore a = b$.
$\therefore\angle A=\angle B=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle C)=45^{\circ}$.

3. 一沙滩秋千如图①所示，图②是其侧面示意图，已知AB=AC=a米，∠ABC=α，则最高点A离地面BC的高度为（ ）

A. $\frac{a}{\cos\alpha}$米
B. $\frac{a}{\sin\alpha}$米
C. $a\cos\alpha$米
D. $a\sin\alpha$米

答案： D

4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件求出直角三角形的其他元素：
（1）a=5，∠B=60°；
（2）∠B=45°，c=14.

答案： 解：
(1)$\because\angle C = 90^{\circ},a = 5,\angle B = 60^{\circ}$，
$\therefore\angle A = 90^{\circ}-\angle B = 30^{\circ},c=\frac{a}{\cos B}=10,b = a\tan B = 5\sqrt{3}$.
(2)$\because\angle B = 45^{\circ},c = 14,\angle C = 90^{\circ}$，
$\therefore\angle A = 90^{\circ}-\angle B = 45^{\circ},a = c\cos B = 7\sqrt{2},b = c\sin B = 7\sqrt{2}$.

5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=32°，AB=4，点D在BC边上，且∠CAD=37°，求CD的长.（结果精确到0.1；参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）

答案： 解：在$Rt\triangle ABC$中，$AC = AB\sin B = 4\sin32^{\circ}\approx2.12$.
在$Rt\triangle ACD$中，$CD = AC\tan\angle CAD\approx2.12\tan37^{\circ}\approx1.6$.

6. 如图，AD是△ABC的高，AB=4，∠BAD=60°，tan∠CAD=$\frac{1}{2}$，求BC的长.

答案： 解：$\because AD$是$\triangle ABC$的高，
$\therefore\angle ADB=\angle ADC = 90^{\circ}$.
在$Rt\triangle ABD$中，$BD = AB\sin\angle BAD = 4\sin60^{\circ}=2\sqrt{3}$，$AD = AB\cos\angle BAD = 4\cos60^{\circ}=2$.
在$Rt\triangle ACD$中，$CD = AD\tan\angle CAD = 2\times\frac{1}{2}=1$.
$\therefore BC = BD + CD = 2\sqrt{3}+1$.