《2025年名校作业九年级数学下册北师大版》

10. 如图是一架人字梯，其中AB = AC，两梯脚之间的距离BC = 1 m，AC与地面的夹角为α，则AC的长为（ ）
A. $\frac{\cos\alpha}{2}$ B. $\frac{\sin\alpha}{2}$
C. $\frac{1}{2\cos\alpha}$ D. $\frac{1}{2\sin\alpha}$
　　

答案： C

11. 水务部门为加强防汛，决定对某水电站水库进行加固. 如图，原大坝的横断面是梯形ABCD，已知迎水面AB的长为10米，∠B = 60°，背水面DC的长为10$\sqrt{3}$米，加固后大坝的横断面为梯形ABED. 若CE的长为4米，则新大坝背水面DE的坡度为（ ）
A. $\frac{5}{19}$ B. $\frac{5\sqrt{3}}{19}$
C. $\frac{10\sqrt{5}}{19}$ D. $\frac{1}{4}$
　　

答案：
B 解析 如图，过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DH⊥BC于点H.

∵四边形ABCD是梯形，
∴AD//BC.
∵AF⊥BC，DH⊥BC，
∴AF = DH.
在Rt△ABF中，AF = ABsinB = 10sin60° = $5\sqrt{3}$(米).
∴DH = $5\sqrt{3}$米.
在Rt△CDH中，
CH = $\sqrt{CD^{2}-DH^{2}}=\sqrt{(10\sqrt{3})^{2}-(5\sqrt{3})^{2}}=15$(米).
∴HE = CH + CE = 15 + 4 = 19(米).
∴新大坝背水面DE的坡度为$\frac{DH}{HE}=\frac{5\sqrt{3}}{19}$.

12. 文物探测队探测出某建筑物下面有地下文物，为了准确测出文物所在的具体位置，他们在文物上方建筑物的一侧地面上相距20米的A，B两处，用仪器探测文物C，探测线与地面的夹角分别为30°和75°.
（1）∠C的度数为__________；
（2）求BC的长.
　　　　　　　　　

答案：
解：
(1)45°
(2)如图，过点B作BD⊥AC于点D，则∠ADB = ∠CDB = 90°.

由题意，得∠BAC = 30°，AB = 20米，
∴BD = $\frac{1}{2}AB = 10$米.
∴BC = $\frac{BD}{\sin C}=\frac{10}{\sin45°}=\frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=10\sqrt{2}$(米).

13. 如图，在200 m高的峭壁AB上的点A处测得塔顶D与塔基C的俯角分别为30°和60°，求塔高CD.
　　　　　　　　　　　　　

答案：
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，则∠AED = 90°，DE = BC，CD = BE.

由题意，知∠ACB = 60°，∠ADE = 30°，AB = 200 m.
在Rt△ABC中，BC = $\frac{AB}{\tan\angle ACB}=\frac{200\sqrt{3}}{3}$ m.
∴DE = $\frac{200\sqrt{3}}{3}$ m.
在Rt△ADE中，AE = DEtan∠ADE = $\frac{200}{3}$ m.
∴CD = BE = AB - AE = $\frac{400}{3}$ m，即塔高CD为$\frac{400}{3}$ m.

14. 如图是某路段路灯的示意图，灯杆AB长0.6 m，灯柱BC垂直于地面，与灯杆AB的夹角为120°. 路灯在地面上的照射区域DE的长为12.3 m，从D，E两处测得路灯A的仰角分别为71°和45°，求灯柱BC的高度.（结果精确到0.1m；参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.9）
　　　　　　　　　　

答案：
解：如图，过点A作AF⊥DE于点F，过点B作BG⊥AF于点G，则∠AFD = ∠AFE = ∠AGB = 90°.

易得四边形BCFG是矩形，
∴∠CBG = 90°，BC = GF.
∴∠ABG = ∠ABC - ∠CBG = 120° - 90° = 30°.
∴在Rt△ABG中，AG = $\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\times0.6 = 0.3$(m).
设BC = GF = x m，则AF = AG + GF = (0.3 + x) m.
由题意，知∠ADF = 71°，∠E = 45°.
在Rt△ADF中，DF = $\frac{AF}{\tan\angle ADF}=\frac{0.3 + x}{\tan71°}$ m，
在Rt△AEF中，EF = $\frac{AF}{\tan E}=\frac{0.3 + x}{\tan45°}=(0.3 + x)$ m.
∵DF + EF = DE，
∴$\frac{0.3 + x}{\tan71°}+0.3 + x = 12.3$.
解得x≈8.8.
∴灯柱BC的高度约为8.8 m.