《2025年名校作业九年级数学下册北师大版》

1.下列二次函数的图象开口向下的是　　(　　　)
A. $y = 3x^{2}$
B. $y = 2x^{2}-6$
C. $y=\frac{1}{2}(x - 8)^{2}-6$
D. $y=-2x^{2}+8x$

答案： D

2.抛物线$y = 2x^{2}+4$的顶点坐标是　　　　(　　　)
A. $(0,4)$
B. $(2,4)$
C. $(2,2)$
D. $(0,2)$

答案： A

3.下列关于二次函数$y = 3x^{2}-1$的图象的说法中，错误的是　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.对称轴是$y$轴
B.图象有最低点
C.顶点坐标是$(0,-1)$
D.在对称轴左侧，$y$的值随$x$值的增大而增大

答案： D

4.关于二次函数$y = x^{2}+6x + 11$，下列说法正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.图象的对称轴为直线$y=-3$
B.图象的顶点坐标为$(-3,2)$
C.当$x＜-3$时，$y$的值随$x$值的增大而增大
D.图象与$x$轴有两个交点

答案： B

5.二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象如图所示，已知点$A(2,y_{1})$，$B(-5,y_{2})$，$C(-7,y_{3})$都在此图象上，则$y_{1}$，$y_{2}$，$y_{3}$的大小关系是_________.(用“＞”连接)
　　　　　　　

答案： $y_{2}＞y_{3}＞y_{1}$ 解析：点$A(2,y_{1})$关于对称轴的对称点为$(-8,y_{1})$。
由图象可知，当$x ＜ -3$时，$y$的值随$x$值的增大而增大。
$\because -5 ＞ -7 ＞ -8$，$\therefore y_{2}＞y_{3}＞y_{1}$。

6.将抛物线$y = x^{2}$先向上平移3个单位长度，再向右移动1个单位长度，所得抛物线的表达式为_________.

答案： $y=(x - 1)^{2}+3$

7.若将抛物线$y=(x - 3)^{2}-2$向左平移$a(a＞0)$个单位长度后经过点$(2,2)$，则$a$的值为_________.

答案： 3 解析：将抛物线$y=(x - 3)^{2}-2$向左平移$a$个单位长度后所得抛物线的表达式为$y=(x - 3 + a)^{2}-2$。
$\because$平移后的抛物线经过点$(2,2)$，
$\therefore (2 - 3 + a)^{2}-2 = 2$。
解得$a_{1}=-1$（不合题意，舍去），$a_{2}=3$。

8.把二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式是$y = x^{2}+5x + 5$，则$a - b + c$的值为_________.

答案： 2 解析：$y=x^{2}+5x + 5=(x+\frac{5}{2})^{2}-\frac{5}{4}$，将其先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到抛物线$y=(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{7}{4}=x^{2}+x + 2$。
$\therefore a = 1$，$b = 1$，$c = 2$。$\therefore a - b + c = 2$。

9.已知二次函数图象的顶点坐标是$(2,4)$，且过点$(0,-4)$，求这个二次函数的表达式.

答案： 解：设这个二次函数的表达式为$y=a(x - 2)^{2}+4$。
将$(0,-4)$代入，得$4a + 4 = -4$，解得$a=-2$。
所以这个二次函数的表达式为$y=-2(x - 2)^{2}+4$。

10.已知二次函数的图象经过点$(0,3)$，$(-3,0)$，$(2,-5)$，求这个二次函数的表达式.

答案： 解：由已知，可得二次函数的图象与$y$轴的交点是$(0,3)$，所以设这个二次函数的表达式为$y=ax^{2}+bx + 3$。
将$(-3,0)$，$(2,-5)$代入，得$\begin{cases}9a - 3b + 3 = 0\\4a + 2b + 3 = -5\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1\\b=-2\end{cases}$
所以这个二次函数的表达式为$y=-x^{2}-2x + 3$。

11.如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体.如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80 m，高度为200 m，则离地面150 m处的水平宽度（$CD$的长）为_________m.
　　　　　　　　

答案：
40 解析：如图，以门底部所在直线为$x$轴，以$CD$的中垂线所在直线为$y$轴建立平面直角坐标系，设该抛物线的表达式为$y=ax^{2}+200$。

由图可知，点$(40,0)$在该抛物线上，
$\therefore 1600a + 200 = 0$，解得$a=-\frac{1}{8}$。
$\therefore$该抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{8}x^{2}+200$。
当$y = 150$时，$-\frac{1}{8}x^{2}+200 = 150$，
解得$x_{1}=-20$，$x_{2}=20$。
$\therefore C(-20,150)$，$D(20,150)$。
$\therefore CD = 20 - (-20)=40$，即离地面150 m处的水平宽度（$CD$的长）为40 m。