《2025年名校作业九年级数学下册北师大版》

1. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，cosA = $\frac{2}{3}$，AB = 6，则AC的长为（ ）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2

答案： C

2. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，tanA = $\sqrt{6}$，则sinB的值为（ ）
A. $\frac{1}{5}$ B. $\frac{1}{2}$ C. $\frac{\sqrt{7}}{7}$ D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

答案： C 解析 在Rt△ABC中，
∵∠C = 90°，
∴tanA = $\frac{BC}{AC}=\sqrt{6}$.
∴BC = $\sqrt{6}AC$.
由勾股定理，得AB = $\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{7}AC$.
∴sinB = $\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{7}}{7}$.

3. 如图，在矩形ABCD中，将△BCD沿BD翻折得到△BFD，BF交AD于点E. 若AE = AB，则tan∠ABD的值为（ ）
A. 2
B. $\sqrt{2}$
C. $\sqrt{2}-1$
D. $\sqrt{2}+1$
　　　

答案： D 解析
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A = 90°，AD//BC.
∴∠ADB = ∠DBC.
由折叠，得∠DBF = ∠DBC.
∴∠ADB = ∠DBF.
∴DE = BE.
∵AE = AB，
∴在Rt△ABE中，BE = $\sqrt{AB^{2}+AE^{2}}=\sqrt{2}AB$.
∴DE = $\sqrt{2}AB$.
∴AD = DE + AE = ($\sqrt{2}+1$)AB.
∴tan∠ABD = $\frac{AD}{AB}=\sqrt{2}+1$.

4. 如图，点A，B，C是正方形网格的格点，连接AC，AB，则tan∠BAC的值为（ ）
A. $\frac{5\sqrt{26}}{26}$ B. $\frac{\sqrt{26}}{26}$ C. $\frac{1}{5}$ D. $\frac{\sqrt{13}}{13}$
　　　

答案：
C 解析 如图，过点C作CE⊥AB于点E.

设小正方形的边长为1.
由勾股定理，得AB = $\sqrt{3^{2}+3^{2}}=3\sqrt{2}$，
BE = CE = $\frac{1}{2}\times\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
∴AE = AB - BE = $3\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$.
在Rt△AEC中，tan∠EAC = $\frac{CE}{AE}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{5\sqrt{2}}{2}}=\frac{1}{5}$.
∴tan∠BAC = $\frac{1}{5}$.

5. 如图，在△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD与CE交于点O，则下列不能表示sinA的是（ ）
A. $\frac{BD}{AB}$ B. $\frac{CD}{OC}$ C. $\frac{AE}{AD}$ D. $\frac{BE}{OB}$
　　　

答案： C 解析 在Rt△ABD中，sinA = $\frac{BD}{AB}$.
∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠AEC = ∠BEC = ∠BDC = 90°.
∴∠A + ∠ACE = 90°，∠ACE + ∠COD = 90°.
∴∠A = ∠COD.
∴sinA = sin∠COD = $\frac{CD}{OC}$.
∵∠BOE = ∠COD，
∴∠A = ∠BOE.
∴sinA = sin∠BOE = $\frac{BE}{OB}$.
根据已知条件，无法得出sinA = $\frac{AE}{AD}$.

6. 如图，在▱ABCD中，AE平分∠DAB交AC于点E，已知CE = 6，BE = 8，DE = 10.
（1）求证：∠BEC = 90°.
（2）求cos∠BAE的值.
　　　　　　　　　　　

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD = BC，AB//DC.
∴∠DEA = ∠EAB.
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE = ∠EAB.
∴∠DAE = ∠DEA.
∴AD = DE = 10.
∴BC = 10.
∵CE² + BE² = 6² + 8² = 100，BC² = 10² = 100，
∴CE² + BE² = BC².
∴△BCE是直角三角形，且∠BEC = 90°.
(2)解：
∵AB//DC，
∴∠ABE = ∠BEC = 90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，CD = DE + CE = 10 + 6 = 16，
∴AB = CD = 16.
∴AE = $\sqrt{AB^{2}+BE^{2}}=\sqrt{16^{2}+8^{2}}=8\sqrt{5}$.
∴cos∠BAE = $\frac{AB}{AE}=\frac{16}{8\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

7. 若α是锐角，且sin(α + 15°) = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，则tanα的值为（ ）
A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C. 1 D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

答案： C 解析
∵sin(α + 15°) = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，α是锐角，
∴α + 15° = 60°.
∴α = 45°.
∴tanα = tan45° = 1.

8. 计算：3tan30° + 2cos²45° - 2sin60°.

答案： 解：原式 = $3\times\frac{\sqrt{3}}{3}+2\times(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}-2\times\frac{\sqrt{3}}{2}$
= $\sqrt{3}+1-\sqrt{3}$
= 1.

9. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c. 根据下列条件解直角三角形.
（1）a = $\sqrt{2}$，b = $\sqrt{6}$；
（2）∠A = 45°，c = 2$\sqrt{6}$.

答案： 解：
(1)c = $\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{6})^{2}}=2\sqrt{2}$.
∴sinA = $\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$.
∴∠A = 30°.
∴∠B = 90° - ∠A = 60°.
(2)∠B = 90° - ∠A = 90° - 45° = 45°，
a = c·sinA = $2\sqrt{6}\times\sin45°=2\sqrt{6}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{3}$，
b = c·cosA = $2\sqrt{6}\times\cos45°=2\sqrt{6}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{3}$.