《2025年名校作业九年级数学下册北师大版》

1. 下列抛物线中,对称轴是直线$x = - 2$的是（ ）
A. $y = x^2 + 2$
B. $y = x^2 - 2$
C. $y = (x + 2)^2$
D. $y = (x - 2)^2$

答案： C 解析 A. 对称轴是$y$轴; B. 对称轴是$y$轴; C. 对称轴是直线$x = - 2$; D. 对称轴是直线$x = 2$.

2. 抛物线$y = 2(x - 3)^2$的顶点坐标为（ ）
A. $(0,3)$
B. $(3,0)$
C. $(0,-3)$
D. $(-3,0)$

答案： B

3. 关于二次函数$y = - 4(x - 2)^2$,下列说法错误的是（ ）
A. 图象开口向下
B. 图象的对称轴是直线$x = 2$
C. 最大值是0
D. 图象与$y$轴不相交

答案： D 解析 由题意可知,该函数图象开口向下,顶点坐标为$(2,0)$,对称轴是直线$x = 2$,有最大值0. 当$x = 0$时,$y = 4\times(0 - 2)^2=-16$,所以图象与$y$轴有交点,交点为$(0,-16)$.

4. 已知二次函数$y = 3(x + 4)^2$图象上的三点$(-3,y_1)$,$(-5,y_2)$,$(-6,y_3)$,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是______________.

答案： $y_1 = y_2\lt y_3$ 解析 $\because$二次函数$y = 3(x + 4)^2$的图象的对称轴是直线$x = - 4$,
$\therefore$点$(-3,y_1)$和$(-5,y_2)$关于直线$x = - 4$对称.
$\therefore y_1 = y_2$.
在对称轴左侧,$y$的值随$x$值的增大而减小,
$\therefore y_2\lt y_3$.
$\therefore y_1 = y_2\lt y_3$.

5. 如图,在平面直角坐标系中画出函数$y=\frac{1}{2}(x - 3)^2$的图象.
(1)指出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴.
(2)根据图象说明:当$x$取何值时,$y$有最大(小)值? 最大(小)值是多少?
　　　　　　　　　

答案：
解:函数$y=\frac{1}{2}(x - 3)^2$的图象如图所示:

(1)该函数图象的开口向上,顶点坐标为$(3,0)$,对称轴是直线$x = 3$.
(2)当$x = 3$时,$y$有最小值,最小值是0.

6. 二次函数$y = (x + 2)^2 - 1$的图象大致为（ ）
　　　　　　　　　　

答案： D 解析 二次函数$y=(x + 2)^2-1$的图象开口向上,对称轴为直线$x = - 2$,D选项符合.

7. 关于抛物线$y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 + 3$,下列结论错误的是（ ）
A. 开口向下
B. 对称轴为直线$x = 1$
C. 顶点坐标为$(-1,3)$
D. 当$x ＞ - 1$时,$y$的值随$x$值的增大而减小

答案： B 解析 A. 因为$a =-\frac{1}{2}\lt0$,所以该抛物线开口向下,正确; B. 对称轴为直线$x = - 1$,错误; C. 顶点坐标为$(-1,3)$,正确; D. 当$x\gt - 1$时,$y$的值随$x$值的增大而减小,正确.

8. 已知二次函数$y = 3(x - 1)^2 + k$的图象上有$A(\sqrt{2},y_1)$,$B(2,y_2)$,$C(-\sqrt{5},y_3)$三点,则$y_1,y_2,y_3$用“＞”连接为______________.

答案： $y_3\gt y_2\gt y_1$ 解析 二次函数$y = 3(x - 1)^2 + k$的图象的对称轴为直线$x = 1$,开口向上,所以图象上的点到对称轴的距离越远,点的纵坐标就越大.
因为$|1-(-\sqrt{5})|\gt|2 - 1|\gt|\sqrt{2}-1|$,所以$y_3\gt y_2\gt y_1$.

9. 已知二次函数$y = 2(x + m)^2 + n$的图象的顶点坐标是$(-1,4)$.
(1)求$m,n$的值;
(2)当$x$取何值时,$y$的值随$x$值的增大而减小? 当$x$取何值时,函数有最大(或最小)值?

答案： 解:
(1)$m = 1$,$n = 4$.
(2)$\because a = 2\gt0$,
$\therefore$抛物线开口向上,在对称轴的左侧,$y$的值随$x$值的增大而减小.
由
(1)可知$y = 2(x + 1)^2 + 4$.
$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x = - 1$.
$\therefore$当$x\lt - 1$时,$y$的值随$x$值的增大而减小.
$\because$抛物线的顶点坐标为$(-1,4)$,
$\therefore$当$x = - 1$时,函数有最小值,最小值为4.

10. 在平面直角坐标系中,将抛物线$y = 3x^2$先向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,所得新抛物线对应的函数表达式为（ ）
A. $y = 3(x + 1)^2 + 2$
B. $y = 3(x - 1)^2 + 2$
C. $y = 3(x - 1)^2 - 2$
D. $y = 3(x + 1)^2 - 2$

答案： A