《2025年名校作业九年级数学下册北师大版》

1. 若a＜0,b＞0,c＜0,则二次函数y=ax²+bx+c的大致图象为 （ ）

答案： B 解析
∵a＜0,
∴抛物线开口向下.
∵c＜0,
∴抛物线与y轴交于负半轴.
∵a＜0,b＞0,
∴-$\frac{b}{2a}$＞0.
∴对称轴在y轴右侧.
只有选项B符合题意.

2. 已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示,下列结论正确的是 （ ）

A. abc＞0
B. b＜a+c
C. 4a+2b+c＞0
D. b²-4ac＜0

答案： C 解析 A.由抛物线开口向下,可得a＜0.
∵抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=1,
∴b=-2a＞0.
∵抛物线与y轴交于正半轴,
∴c＞0.
∴abc＜0.
B.当x=-1时,y＜0,
∴a-b+c＜0.
∴b＞a+c.
C.
∵抛物线的对称轴为直线x=1,
∴当x=2与x=0时,y值相等.
∵当x=0时,y＞0,
∴当x=2时,y＞0,即4a+2b+c＞0.
D.
∵抛物线与x轴有两个交点,
∴一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根.
∴Δ=b²-4ac＞0.

3. 二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示,则下列结论错误的是 （ ）

A. 2a=-b
B. 当m≠1时,a+b＞am²+bm
C. a-b+c＞0
D. 若ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂,且x₁≠x₂,则x₁+x₂=2

答案： C 解析 由图象,可得二次函数图象的对称轴是直线x=1,则-$\frac{b}{2a}$=1,
∴2a=-b.
当x=1时,该函数取得最大值,则当m≠1时,a+b+c＞am²+bm+c,即a+b＞am²+bm.
当x=3时,y＜0.
∵该函数图象的对称轴是直线x=1,
∴当x=-1时,y＜0,即a-b+c＜0.
∵ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂,且x₁≠x₂,
∴二次函数图象上的(x₁,ax₁²+bx₁+c),(x₂,ax₂²+bx₂+c)两点关于对称轴直线x=1对称,
∴$\frac{x₁ + x₂}{2}$=1,即x₁+x₂=2.

4. 已知抛物线y=ax²+bx+c如图所示,对称轴为直线x=1,给出下列结论:①abc＜0;②2a+b＜0;③b²＞4ac;④3a+c＞0.其中正确的是 （ ）

A. ①②③
B. ②③④
C. ①③④
D. ①②④

答案： C 解析
∵抛物线开口向下,
∴a＜0.
∵抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=1,
∴b=-2a＞0.
∵抛物线与y轴交于正半轴,
∴c＞0.
∴abc＜0,①正确.
∵-$\frac{b}{2a}$=1,
∴b=-2a.
∴2a+b=0,②错误.
∵抛物线与x轴有两个交点,
∴ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根.
∴b²-4ac＞0.
∴b²＞4ac,③正确.
∵对称轴是直线x=1,
∴x=3时与x=-1时对应的y值相等.
∵当x=3时,y＞0,
∴当x=-1时,y＞0.
∴a-b+c＞0.
∵b=-2a,
∴3a+c＞0,④正确.

5. 已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示,给出下列结论:①abc＞0;②2a+b＜0;③a+b＞m(am+b)(m≠1);④(a+c)²＜b²;⑤a＞1.其中正确的有 （ ）

A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个

答案： A 解析 ①由图象可知a＞0,c＜0.
∵-$\frac{b}{2a}$＞0,
∴b＜0.
∴abc＞0.
②
∵-$\frac{b}{2a}$＜1,a＞0.
∴-b＜2a.
∴2a+b＞0.
③当x=1时,y₁=a+b+c.
当x=m时,y₂=m(am+b)+c.该函数不是在x=1时取得最大值,所以y₁与y₂的大小无法比较.
④当x=1时,a+b+c=0.
∴a+c=-b.
∴(a+c)²=b².
⑤当x=-1时,a-b+c=2;当x=1时,a+b+c=0.
∴a+c=1.
∵c＜0,
∴a＞1.
综上,正确的有①⑤,共2个.