《2025年名校作业九年级数学下册北师大版》

1. 下列语句中，不正确的是（ ）
A. 圆是轴对称图形，任意一条直径都是它的对称轴
B. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
C. 圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与原来的圆重合
D. 圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个

答案： A

2. 如图是两个同心圆，其中两条直径互相垂直，若大圆的半径是2，则图中阴影部分的面积之和为__________．（结果保留π）

答案： $2\pi$

3. 如图，在⊙O中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，$\angle BAC = 30^{\circ}$，则$\angle ABC$的度数是（ ）


A. $85^{\circ}$
B. $75^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $15^{\circ}$

答案： B 解析 $\because\widehat{AB}=\widehat{AC}$，
$\therefore\angle ABC = \angle ACB=\frac{180^{\circ}-\angle BAC}{2}=75^{\circ}$。

4. 如图，在⊙O中，AB是直径，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，$\angle AOE = 60^{\circ}$，则$\angle BOC$的度数为（ ）


A. $35^{\circ}$
B. $40^{\circ}$
C. $45^{\circ}$
D. $60^{\circ}$

答案： B 解析 $\because\angle AOE = 60^{\circ}$，
$\therefore\angle BOE = 180^{\circ}-\angle AOE = 120^{\circ}$。
$\because\widehat{BC}=\widehat{CD}=\widehat{DE}$，
$\therefore\angle BOC=\angle COD=\angle DOE=\frac{1}{3}\angle BOE = 40^{\circ}$。

5. 如图，点A，B，C都在⊙O上，点B是$\overset{\frown}{AC}$的中点，$\angle B = 50^{\circ}$，则$\angle AOB$的度数是__________．

答案： $80^{\circ}$ 解析 $\because OB = OC$，
$\therefore\angle C=\angle B = 50^{\circ}$。
$\therefore\angle BOC = 180^{\circ}-\angle B-\angle C = 80^{\circ}$。
$\because$点$B$是$\widehat{AC}$的中点，
$\therefore\widehat{AB}=\widehat{BC}$。
$\therefore\angle AOB=\angle BOC = 80^{\circ}$。

6. 如图，⊙O的半径OA⊥OC，点D在$\overset{\frown}{AC}$上，$AD = 2\sqrt{CD}$，$OA = 4$，则$\angle COD$的度数为__________，弦AD的长为__________．

答案： $30^{\circ}$ $4$ 解析 $\because OA\perp OC$，$\therefore\angle AOC = 90^{\circ}$。
$\because\widehat{AD}=2\widehat{CD}$，$\therefore\widehat{CD}=\frac{1}{3}\widehat{AC}$，$\widehat{AD}=\frac{2}{3}\widehat{AC}$。
$\therefore\angle COD=\frac{1}{3}\angle AOC = 30^{\circ}$，$\angle AOD=\frac{2}{3}\angle AOC = 60^{\circ}$。
又$\because OA = OD$，
$\therefore\triangle AOD$是等边三角形。$\therefore AD = OA = 4$。

7. 如图，CD为⊙O的直径，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，点E为OD上任意一点（不与点O，D重合）. 求证：AE = BE.

答案： 证明：$\because\widehat{AC}=\widehat{BC}$，$\therefore\angle AOC=\angle BOC$。
$\because\angle AOC+\angle AOD = 180^{\circ}$，$\angle BOC+\angle BOD = 180^{\circ}$，
$\therefore\angle AOD=\angle BOD$。
又$\because OA = OB$，$OE = OE$，
$\therefore\triangle AOE\cong\triangle BOE$。$\therefore AE = BE$。

8.【教材P73习题T3变式】如图，AB是⊙O的直径，AC = BD，$\angle COD = 60^{\circ}$. 求证：
（1）$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$；
（2）OC//BD.

答案： 证明：
(1)$\because AC = BD$，
$\therefore\widehat{AC}=\widehat{BD}$。
$\therefore\widehat{AC}+\widehat{CD}=\widehat{BD}+\widehat{CD}$。
$\therefore\widehat{AD}=\widehat{BC}$。
(2)$\because\widehat{AC}=\widehat{BD}$，
$\therefore\angle AOC=\angle BOD$。
$\because\angle COD = 60^{\circ}$，
$\therefore\angle AOC=\angle BOD=\frac{180^{\circ}-\angle COD}{2}=60^{\circ}$。
$\because OB = OD$，
$\therefore\triangle BOD$是等边三角形。
$\therefore\angle ODB = 60^{\circ}$。
$\therefore\angle COD=\angle ODB$。
$\therefore OC// BD$。