《2025年名校作业九年级数学下册北师大版》

3. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数$y=-x^{2}+bx + c$的图象与$x$轴交于$A$，$B(3,0)$两点，与$y$轴交于点$C(0,3)$，点$P$是抛物线上一个动点.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)在抛物线上是否存在点$P$，使得$\triangle ABP$的面积等于$10$？若存在，请求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由.
(3)若点$P$在直线$BC$的上方，当$\triangle BPC$的面积最大时，求此时点$P$的坐标.
　　　　　　　　　　　

答案：
解：
(1)将B(3,0)，C(0,3)代入$y=-x^{2}+bx + c$，
得$\begin{cases}-9 + 3b + c = 0\\c = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}b = 2\\c = 3\end{cases}$
所以二次函数的表达式为$y=-x^{2}+2x + 3$.
(2)存在. 如图，连接AP，BP.

设P(t,$-t^{2}+2t + 3$).
令$-x^{2}+2x + 3 = 0$，得$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$.
∴A(-1,0).
∴AB = 3 - (-1)=4.
∴$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}AB\cdot|y_{P}|=\frac{1}{2}\times4\times|-t^{2}+2t + 3| = 10$.
∴$-t^{2}+2t + 3 = 5$或$-t^{2}+2t + 3=-5$.
解方程$-t^{2}+2t + 3 = 5$，得此方程无解.
解方程$-t^{2}+2t + 3=-5$，得$t_{1}=4$，$t_{2}=-2$.
∴点P的坐标为(4,-5)或(-2,-5).
(3)如图，连接BP，CP，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q.

设直线BC的表达式为y = mx + n.
将B(3,0)，C(0,3)代入，得$\begin{cases}3m + n = 0\\n = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}m = - 1\\n = 3\end{cases}$
∴直线BC的表达式为y = - x + 3.
设P(a,$-a^{2}+2a + 3$)，则Q(a,-a + 3).
∴$PQ=-a^{2}+2a + 3-(-a + 3)=-a^{2}+3a$.
∴$S_{\triangle BPC}=S_{\triangle BPQ}+S_{\triangle CPQ}=\frac{1}{2}PQ\cdot OB=\frac{1}{2}(-a^{2}+3a)\times3=-\frac{3}{2}(a-\frac{3}{2})^{2}+\frac{27}{8}$.
∴当$a=\frac{3}{2}$时，△BPC的面积最大，此时点P的坐标为$(\frac{3}{2},\frac{15}{4})$.

4. 如图，抛物线$y=-x^{2}+3x + 4$与$x$轴交于点$A(-1,0)$，$B(4,0)$，与$y$轴交于点$C$，点$P$是第一象限内抛物线上的一点，连接$AC$，$BC$，$PB$，$PC$. 若$S_{\triangle PBC}=\frac{3}{5}S_{\triangle ABC}$，求点$P$的坐标.
　　　　　　　　　　　

答案：
解：如图，过点P作y轴的平行线，交BC于点F.

对于抛物线$y=-x^{2}+3x + 4$，令x = 0，得y = 4.
∴C(0,4).
∴OC = 4.
∵A(-1,0)，B(4,0)，
∴AB = 4 - (-1)=5，OB = 4.
设直线BC的表达式为y = kx + b.
将B(4,0)，C(0,4)代入，得$\begin{cases}4k + b = 0\\b = 4\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = - 1\\b = 4\end{cases}$
∴直线BC的表达式为y = - x + 4.
设点P的坐标为(t,$-t^{2}+3t + 4$)，则点F的坐标为(t,-t + 4).
∴$PF=-t^{2}+3t + 4-(-t + 4)=-t^{2}+4t$.
∵$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot OC=\frac{1}{2}\times5\times4 = 10$，
∴$S_{\triangle PBC}=\frac{3}{5}S_{\triangle ABC}=6$.
∵$S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}PF\cdot OB$，
∴$\frac{1}{2}(-t^{2}+4t)\times4 = 6$，解得$t_{1}=1$，$t_{2}=3$.
当t = 1时，$-t^{2}+3t + 4 = 6$.
当t = 3时，$-t^{2}+3t + 4 = 4$.
∴点P的坐标为(1,6)或(3,4).

5. 如图，抛物线$y=-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x + 1$经过点$A(-2,0)$，$P(2,-2)$，点$D$在第三象限内的抛物线上. 若$\triangle ADP$的面积为$21$，求点$D$的坐标.
　　　　　　　　　　

答案：
解：如图，过点D作DE//y轴交PA的延长线于点E.

设直线AP的表达式为y = kx + b.
把A(-2,0)，P(2,-2)代入，得$\begin{cases}-2k + b = 0\\2k + b = - 2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = -\frac{1}{2}\\b = - 1\end{cases}$
∴直线AP的表达式为$y=-\frac{1}{2}x - 1$.
设点D的坐标为$(m,-\frac{1}{2}m^{2}-\frac{1}{2}m + 1)$，则点E的坐标为$(m,-\frac{1}{2}m - 1)$.
∴$DE=-\frac{1}{2}m - 1-(-\frac{1}{2}m^{2}-\frac{1}{2}m + 1)=\frac{1}{2}m^{2}-2$.
∵$S_{\triangle ADP}=S_{\triangle EDP}-S_{\triangle EDA}=\frac{1}{2}DE\cdot|x_{P}-x_{A}|$，
∴$\frac{1}{2}(\frac{1}{2}m^{2}-2)\times[2-(-2)] = 21$.
解得$m_{1}=-5$，$m_{2}=5$(舍去).
当m = - 5时，$-\frac{1}{2}m^{2}-\frac{1}{2}m + 1=-9$.
∴点D的坐标为(-5,-9).

6. 如图，抛物线$y = ax^{2}$经过点$A(2,1)$，点$B$为$y$轴右侧抛物线上一点. 若$\triangle AOB$的面积为$6$，求点$B$的坐标.
　　　　　　　　　　　

答案：
解：如图，过点B作BE//OA交y轴于点E，连接AE，则$S_{\triangle AOE}=S_{\triangle AOB}=6$.

∵$S_{\triangle AOE}=\frac{1}{2}OE\cdot|x_{A}|$，
∴$\frac{1}{2}OE\times2 = 6$. 解得OE = 6.
∴点E的坐标为(0,6).
将A(2,1)代入$y = ax^{2}$，得4a = 1，解得$a=\frac{1}{4}$.
∴抛物线的表达式为$y=\frac{1}{4}x^{2}$.
设直线OA的表达式为y = kx.
将A(2,1)代入，得2k = 1，解得$k=\frac{1}{2}$.
∴直线OA的表达式为$y=\frac{1}{2}x$.
∵BE//OA，
∴直线BE的表达式为$y=\frac{1}{2}x + 6$.
联立方程组$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x + 6\\y=\frac{1}{4}x^{2}\end{cases}$
解得$\begin{cases}x_{1}=-4\\y_{1}=4\end{cases}$(舍去)，$\begin{cases}x_{2}=6\\y_{2}=9\end{cases}$
∴点B的坐标为(6,9).