《2025年名校作业九年级数学下册北师大版》

9. 给出下列关于抛物线$y = x^{2}+2$和$y = x^{2}$的说法：①开口方向相同；②形状相同；③对称轴相同；④顶点相同. 其中正确的有（ ）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个

答案： D 解析 将抛物线y=x²向上平移2个单位长度可得到抛物线y=x²+2，所以两个抛物线的开口方向相同，形状相同，对称轴相同，顶点不同. 所以①②③正确，共3个.

10. 将抛物线$y = -\frac{3}{4}x^{2}$向上平移2个单位长度，所得抛物线的表达式是__________.

答案： y=−$\frac{3}{4}$x²+2

【变式】抛物线$y = -3x^{2}$可由抛物线$y = -3x^{2}+5$平移得到，平移方式是（ ）
A. 向上平移5个单位长度
B. 向下平移5个单位长度
C. 向左平移5个单位长度
D. 向右平移5个单位长度

答案： B

11. 在同一平面直角坐标系中，一次函数$y = ax + 2$与二次函数$y = x^{2}-a$的图象可能是（ ）
　

答案： A 解析 一次函数y=ax+2的图象与y轴正半轴相交，排除B选项；二次函数y=x²−a的图象开口向上，排除C选项；A，D选项中抛物线与y轴负半轴相交，所以a＞0，所以一次函数的图象经过第一、二、三象限，排除D选项.

12. 如图，正方形的边长为4，以正方形对角线的交点为原点建立平面直角坐标系，画出二次函数$y = 2x^{2}$与$y = -2x^{2}$的图象，则阴影部分的面积是__________.
　　

答案： 8 解析 二次函数y=2x²与y=−2x²的图象关于x轴对称，
∴图中阴影部分的面积是正方形面积的一半.
∵正方形的面积是4×4 = 16，
∴阴影部分的面积是8.

13. 【教材P35想一想变式】已知四个二次函数的图象如图所示，那么$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$的大小关系是__________.(用“＞”连接)
　　

答案： a₁＞a₂＞a₃＞a₄ 解析 抛物线y=a₁x²的开口小于抛物线y=a₂x²的开口，开口向上，则a₁＞a₂＞0；抛物线y=a₃x²的开口大于抛物线y=a₄x²的开口，开口向下，则a₄＜a₃＜0，所以a₁＞a₂＞a₃＞a₄.

14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y = ax^{2}+3$与$y$轴交于点$A$，过点$A$作与$x$轴平行的直线交抛物线$y = \frac{1}{3}x^{2}$于$B$，$C$两点，则$BC$的长为__________.
　

答案： 6 解析 根据题意知点A的坐标为(0,3).
∵BC//x轴，
∴点B，C的纵坐标都为3.
将y = 3代入y = $\frac{1}{3}$x²，得$\frac{1}{3}$x²=3，解得x₁=-3，x₂=3.
∴点B的坐标为(-3,3)，点C的坐标为(3,3).
∴BC = 3-(-3)=6.

15. 如图，抛物线$y_{1}=-\frac{1}{2}x^{2}+1,y_{2}=-\frac{1}{2}x^{2}-1$与直线$x = -2,x = 2$围成的阴影部分的面积为__________.
　　

答案：
8 解析 如图:

抛物线y = −$\frac{1}{2}$x²+1向下平移2个单位长度得到抛物线y = −$\frac{1}{2}$x²−1，阴影部分可构成矩形ABCD.
∴S阴影=S矩形ABCD=2×4 = 8.

16. 已知抛物线$y = \frac{1}{4}x^{2}+1$具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点$F(0,2)$的距离与到$x$轴的距离相等. 如图，点$M$的坐标为$(\sqrt{3},3)$，$P$是抛物线$y = \frac{1}{4}x^{2}+1$上的一个动点，连接$OP$，$PF$，$PM$，$FM$.
（1）当$\triangle POF$的面积为4时，求点$P$的坐标；
（2）求$\triangle PMF$周长的最小值.
　　　　　　　　　

答案：
解:
(1)设P(m,$\frac{1}{4}$m²+1).
∵F(0,2)，
∴OF = 2.
∴S△POF=$\frac{1}{2}$×2×|m| = 4.
∴m = ±4.
当m = ±4时，$\frac{1}{4}$m²+1 = 5.
∴点P的坐标为(4,5)或(-4,5).
(2)如图，过点P作PE⊥x轴于点E.

由题意，得PF = PE，
∴△PMF的周长MF + PF + PM = MF + PE + PM.
∵点M，F均为定点，
∴MF的长为定值.
∴当PE + PM的值最小时，△PMF的周长取得最小值.
当点M，P，E在同一直线上时，PE + PM的值最小，此时PE + PM = 3.
∵F(0,2)，M($\sqrt{3}$,3)，
∴MF=$\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(3 - 2)^{2}}$ = 2.
∴△PMF周长的最小值为2 + 3 = 5.