《2025年名校作业九年级数学下册北师大版》

[变式　抛物线平移变坐标轴平移]已知抛物线$y = 3(x - 2)^2 + 1$,若先将$x$轴向上平移2个单位长度,再将$y$轴向左平移3个单位长度,则该抛物线在新的平面直角坐标系中的表达式为__________.

答案： 【变式】$y = 3(x - 5)^2-1$ 解析 此题可以转化为求将抛物线$y = 3(x - 2)^2 + 1$先向下平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后的函数表达式,所以在新的平面直角坐标系中的函数表达式为$y = 3(x - 5)^2-1$.

11. 把二次函数$y=a(x - h)^2 + k$的图象先向左平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到二次函数$y=\frac{1}{2}(x + 1)^2 - 1$的图象.
(1)试确定$a,h,k$的值;
(2)指出二次函数$y=a(x - h)^2 + k$的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.

答案： 解:
(1)原二次函数的图象可看成是由二次函数$y=\frac{1}{2}(x + 1)^2-1$的图象先向右平移2个单位长度,再向下平移4个单位长度得到的.
$\therefore$原二次函数的表达式为$y=\frac{1}{2}(x - 1)^2-5$.
$\therefore a=\frac{1}{2}$,$h = 1$,$k = - 5$.
(2)二次函数$y = a(x - h)^2 + k$,即$y=\frac{1}{2}(x - 1)^2-5$的图象开口向上,对称轴为直线$x = 1$,顶点坐标为$(1,-5)$.

12. 二次函数$y=a(x + m)^2 + n$的图象如图所示,则一次函数$y = mx + n$的图象经过（ ）
A. 第一、二、三象限
B. 第一、二、四象限
C. 第二、三、四象限
D. 第一、三、四象限
　　　　　　　　　　　　　

答案： C 解析 由图象,得$m\lt0$,$n\lt0$.
$\therefore$一次函数$y = mx + n$的图象经过第二、三、四象限.

13. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y = m(x + 3)^2 + n$与$y = m(x - 2)^2 + n + 1$交于点$A$,过点$A$作$x$轴的平行线,分别交两条抛物线于点$B,C$(点$B$在点$C$左侧),则线段$BC$的长为______.
　　

答案：
10 解析 抛物线$y = m(x + 3)^2 + n$的对称轴为直线$x = - 3$,抛物线$y = m(x - 2)^2 + n + 1$的对称轴为直线$x = 2$.
如图,设直线$x = - 3$和$x = 2$分别交线段$BC$于点$E$,$F$.

由抛物线的对称性,可知$BE = AE$,$CF = AF$.
$\therefore BC = BE + AE + AF + CF = 2(AE + AF)=2\times[2-(-3)] = 10$.

14. 如图,已知抛物线$y=(x + m)^2 + k$的顶点坐标为$(1,-4)$.将该抛物线沿$x$轴翻折,得到一个新抛物线,则新抛物线对应的函数表达式为__________.
　　

答案： $y=-(x - 1)^2 + 4$ 解析 由题意,得新抛物线的顶点坐标为$(1,4)$,$a=-1$.$\therefore$新抛物线对应的函数表达式为$y=-(x - 1)^2 + 4$.

15. 已知抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$如图所示. 将抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$向右平移$m(m＞0)$个单位长度后,经过点$A(0,3)$.
(1)试求$m$的值;
(2)画出平移后的图象;
(3)设两条抛物线相交于点$B(\frac{3}{2},\frac{3}{4})$,点$A$关于新抛物线的对称轴对称的点为点$C$,试在新抛物线的对称轴上找出一点$P$,使$BP + CP$的值最小,求出点$P$的坐标.
　　　　　　　　　

答案：
解:
(1)将抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$向右平移$m(m\gt0)$个单位长度后得到新抛物线的表达式为$y=\frac{1}{3}(x - m)^2$.
$\because$抛物线$y=\frac{1}{3}(x - m)^2$经过点$A(0,3)$,
$\therefore 3=\frac{1}{3}(0 - m)^2$,
解得$m_1 = 3$,$m_2=-3$(不合题意,舍去).
$\therefore m = 3$.
(2)平移后的抛物线为$y=\frac{1}{3}(x - 3)^2$,其顶点坐标是$(3,0)$,其图象如图所示:

(3)$\because$新抛物线$y=\frac{1}{3}(x - 3)^2$的对称轴是直线$x = 3$,
$\therefore$点$A(0,3)$关于直线$x = 3$对称的点$C$的坐标为$(6,3)$.
$\because$点$P$在直线$x = 3$上,点$B$,$C$在直线$x = 3$的两侧,
$\therefore$当$B$,$P$,$C$三点共线时,$BP + CP$的值最小.
设直线$BC$的表达式为$y = kx + b$.
将点$B(\frac{3}{2},\frac{3}{4})$,$C(6,3)$代入,
得$\begin{cases}\frac{3}{2}k + b=\frac{3}{4}\\6k + b = 3\end{cases}$,解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2}\\b = 0\end{cases}$,
$\therefore$直线$BC$的表达式为$y=\frac{1}{2}x$.
当$x = 3$时,$y=\frac{3}{2}$.
$\therefore$点$P$的坐标为$(3,\frac{3}{2})$.

16. 小爱在学习二次函数后,对函数$y = -(|x| - 1)^2$进行了探究. 在经历列表、描点、连线步骤后,得到如图的函数图象.
(1)写出该函数的一条性质:______________.
(2)①将函数$y = -(|x| - 1)^2$的图象经过怎样的平移可得到函数$y = -(|x - 2| - 1)^2 + 3$的图象? 画出平移后的图象;
②观察平移后的图象,当$2\leq y\leq3$时,直接写出自变量$x$的取值范围:______________.
　　　　　　　

答案：
解:
(1)函数图象关于$y$轴对称
(2)①将函数$y=-(|x|-1)^2$的图象先向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度. 图象如图所示.

②$0\leqslant x\leqslant4$