《2025年名校作业九年级数学下册北师大版》

10.∠BAC在正方形网格中的位置如图所示，点A，B，C均在格点上，则tan∠BAC的值为（ ）

A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{5}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$

答案：
D 解析：如图，连接CD.

设小正方形的边长为1.
由勾股定理，得AD = $\sqrt{2^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{2}$，CD = $\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$，AC = $\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$.
∵$(2\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}=(\sqrt{10})^{2}$，
∴AD² + CD² = AC².
∴△ACD是直角三角形，且∠ADC = 90°.
∴tan∠BAC = $\frac{CD}{AD}=\frac{1}{2}$.

11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=12，tan∠BCD=$\frac{3}{4}$，则BC的长为（ ）


A.6
B.8
C.9
D.10

答案： C
解析：
∵∠ACB = 90°，
∴∠A + ∠B = 90°.
∵CD⊥AB，
∴∠BDC = 90°.
∴∠BCD + ∠B = 90°.
∴∠A = ∠BCD.
∴tanA = tan∠BCD.
∵$\frac{BC}{AC}=\frac{3}{4}$，
∵AC = 12，
∴BC = 9.

12.如图，在△ABC中，点O是角平分线AD，BE的交点.若AB=AC=10，BC=12，则tan∠OBD的值为________.

答案：
∴OD = 3.
在Rt△OBD中，tan∠OBD = $\frac{OD}{BD}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

13.庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24 m/min的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发.如图，已知小山北坡的坡度为1：$\sqrt{3}$，山坡长为240 m，南坡的坡度为1.问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A.（结果保留整数；参考数据：$\sqrt{2}$≈1.4）

答案：
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADB = ∠ADC = 90°.

根据题意，得$\frac{AD}{CD}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，$\frac{AD}{BD}=1$.
∴CD = $\sqrt{3}AD$.
在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC = $\sqrt{AD^{2}+CD^{2}} = 2AD = 240m$.
∴AD = 120m.
∴BD = 120m.
在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB = $\sqrt{AD^{2}+BD^{2}} = 120\sqrt{2}(m)$.
240÷24 = 10(min)，
120$\sqrt{2}$÷10 = 12$\sqrt{2}$≈17(m/min).
∴李强以17 m/min的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A.

14.如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，且OC：BC=1：2，连接AC，过点O作OP//AB交AC的延长线于点P.若P(1,1)，求tan∠OAP的值.

答案：
解：如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，则∠AQP = 90°.

∵OP//AB，
∴∠CAB = ∠CPO，∠ABC = ∠POC.
∴△OCP∽△BCA.
∴CP:CA = OC:BC = 1:2.
∵∠AOC = ∠AQP = 90°，
∴CO//PQ.
∴OQ:OA = CP:CA = 1:2.
∵P(1，1)，
∴PQ = OQ = 1.
∴OA = 2.
∴AQ = OA + OQ = 3.
∴tan∠OAP = $\frac{PQ}{AQ}=\frac{1}{3}$.

易错特训 在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，求tanA的值.

答案： 解：分两种情况：
①当AB为斜边时，∠C = 90°，
∵AC = 8，BC = 6，
∴tanA = $\frac{BC}{AC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$.
②当AC为斜边时，∠B = 90°，
∴AB = $\sqrt{AC^{2}-BC^{2}}=\sqrt{8^{2}-6^{2}} = 2\sqrt{7}$.
∴tanA = $\frac{BC}{AB}=\frac{6}{2\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{7}}{7}$.
综上所述，tanA的值为$\frac{3}{4}$或$\frac{3\sqrt{7}}{7}$.