《2025年名校作业九年级数学下册北师大版》

7.已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的$y$与$x$的部分对应值如下表所示：
　
求这个二次函数的表达式.

答案： 解：由已知，可得当$x = - 1$或3时函数值$y$相同，所以这个二次函数图象的对称轴为直线$x=\frac{-1 + 3}{2}=1$.
所以这个二次函数图象的顶点坐标为$(1,1)$.
设这个二次函数的表达式为$y = a(x - 1)^{2}+1$.
将$(-1,0)$代入，得$4a + 1 = 0$，解得$a =-\frac{1}{4}$.
所以，所求二次函数的表达式为$y =-\frac{1}{4}(x - 1)^{2}+1 =-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}$.

8.如图，二次函数图象经过点$A(-3,0)$，与$y$轴交于点$C$，顶点为$D(-1,-4)$.
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)判断$\triangle ACD$的形状.

答案： 解：
(1)设这个二次函数的表达式为$y = a(x + 1)^{2}-4$.
将$A(-3,0)$代入，得$4a - 4 = 0$，解得$a = 1$.
所以这个二次函数的表达式为$y = (x + 1)^{2}-4$.
(2)由
(1)得$y = (x + 1)^{2}-4$.
当$x = 0$时，$y = - 3$，$\therefore C(0,-3)$.
$\because A(-3,0),D(-1,-4)$，
$\therefore AC^{2}=3^{2}+3^{2}=18,AD^{2}=2^{2}+4^{2}=20,CD^{2}=1^{2}+1^{2}=2$.
$\therefore AD^{2}=AC^{2}+CD^{2}$.
$\therefore\triangle ACD$是直角三角形.

9.已知二次函数$y = ax^{2}+bx + 3$的图象经过点$(1,0)$，对称轴为直线$x = -1$，求这个二次函数的表达式.

答案： 解：由已知，得$\begin{cases}a + b + 3 = 0,\\-\frac{b}{2a} = - 1.\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = - 1,\\b = - 2.\end{cases}$
所以，所求二次函数的表达式为$y = - x^{2}-2x + 3$.

10.中条山隧道位于山西省运城市盐湖区，这一隧道的建设开创了全省普通公路特长隧道工程建设的先河，也是全国单洞里程最长的隧道工程.如图①是中条山隧道，其截面形状近似为抛物线，图②是其截面示意图，线段$OA$表示水平的路面，以$O$为坐标原点，$OA$所在直线为$x$轴，过点$O$且垂直于$OA$的直线为$y$轴建立平面直角坐标系.经测量，$OA = 12\ m$，顶点$P$到$OA$的距离为$5\ m$，求抛物线的表达式.
　　

答案： 解：由题意，得抛物线的顶点$P$的坐标为$(6,5)$.
设抛物线的表达式为$y = a(x - 6)^{2}+5$.
将$O(0,0)$代入，得$36a + 5 = 0$，解得$a =-\frac{5}{36}$.
所以抛物线的表达式为$y =-\frac{5}{36}(x - 6)^{2}+5 =-\frac{5}{36}x^{2}+\frac{5}{3}x$.

11.如图，在平面直角坐标系中，$\square ABCD$的顶点$A$，$B$在$x$轴上，$AB = 4$，点$D$的坐标为$(0,8)$，以点$C$为顶点的抛物线经过点$A$，$B$，求该抛物线的表达式.
　　　　　　　　　　

答案：
解：$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore CD// AB,CD = AB = 4$.
$\because$点$D$的坐标为$(0,8)$，
$\therefore$点$C$的坐标为$(4,8)$.
如图，设抛物线的对称轴与$x$轴交于点$H$，则$AH = BH = 2,OH = CD = 4$.

$\therefore OA = OH - AH = 2$.
$\therefore A(2,0)$.
设该抛物线的表达式为$y = a(x - 4)^{2}+8$.
将$A(2,0)$代入，得$4a + 8 = 0$.
解得$a = - 2$.
$\therefore$该抛物线的表达式为$y = - 2(x - 4)^{2}+8 = - 2x^{2}+16x - 24$.