《2025年名校作业九年级数学下册北师大版》

7. 将45°的∠AOB按如图所示的方式放在刻度尺上，顶点O与尺下沿的左端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点D在刻度尺上对应的读数为2 cm. 若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点E在刻度尺上的读数约为（结果精确到0.1 cm；参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）（ ）

A. 2.3 cm
B. 2.5 cm
C. 2.7 cm
D. 3 cm

答案：
C 解析 如图，过点$D,E$分别作$DF\perp OA$于点$F,EG\perp OA$于点$G$，则$\angle OFD=\angle OGE = 90^{\circ},DF = EG$.

根据题意，得$OF = 2\ cm$.
在$Rt\triangle FOD$中，$DF = OF\tan\angle AOB = 2\tan45^{\circ}=2\ cm$.
$\therefore EG = 2\ cm$.
在$Rt\triangle GOE$中，$OG=\frac{EG}{\tan\angle AOC}=\frac{2}{\tan37^{\circ}}\approx2.7\ cm$.
$\therefore$点$E$在刻度尺上的读数约为$2.7\ cm$.

8. 如图，小明想利用条件“∠A=30°，AB=6，BC=4”作△ABC. 他先作出了∠A和AB，在用圆规作BC时，发现点C出现C₁和C₂两个位置，则C₁C₂的长为________.

答案：
$2\sqrt{7}$ 解析 如图，过点$B$作$BM\perp AC_{2}$于点$M$，则$\angle AMB = 90^{\circ}$.

在$Rt\triangle ABM$中，$BM = AB\sin A = 6\sin30^{\circ}=3$.
在$Rt\triangle BC_{1}M$中，根据勾股定理，得$C_{1}M=\sqrt{BC_{1}^{2}-BM^{2}}=\sqrt{7}$.
$\because BC_{1}=BC_{2},BM\perp AC_{2}$，
$\therefore C_{1}C_{2}=2C_{1}M = 2\sqrt{7}$.

9. 如图，在△ABC中，AC=4$\sqrt{2}$，BC=6，∠C=45°.
（1）求AB的值；
（2）求∠ABC的度数.（结果精确到0.1°）

答案：
解：
(1)如图，过点$A$作$AD\perp BC$于点$D$.

$\therefore\angle ADC=\angle ADB = 90^{\circ}$.
$\therefore AD = AC\sin C = 4,CD = AC\cos C = 4$.
$\because BC = 6,\therefore BD = BC - CD = 2$.
$\therefore AB=\sqrt{AD^{2}+BD^{2}}=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}$.
(2)在$Rt\triangle ABD$中，$\tan\angle ABC=\frac{AD}{BD}=\frac{4}{2}=2$，
$\therefore\angle ABC\approx63.4^{\circ}$.

10. 如图①，光线从空气射入水中会发生折射，我们把n=$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}$称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）. 如图②，利用激光笔PQ发射一束光线，容器中不装水时，光斑恰好落在B处，加水至EF处时，光斑落在C处，光线与EF交于点D，测得BF=24 cm，DF=32 cm.
（1）求入射角α的度数（结果精确到1°）；
（2）若光线从空气射入水中的折射率n=$\frac{4}{3}$，求光斑移动的距离BC.

答案：
解：
(1)由题意，知$\angle DBF=\alpha$.
在$Rt\triangle BDF$中，$\tan\angle DBF=\frac{DF}{BF}=\frac{32}{24}=\frac{4}{3}$.
$\therefore\angle DBF\approx53^{\circ}$.
$\therefore\alpha\approx53^{\circ}$.
(2)如图，过点$D$作$DH\perp AB$于点$H$，则$\angle CHD = 90^{\circ}$，$DH = BF = 24,BH = DF = 32$.

在$Rt\triangle BDF$中，$BD=\sqrt{BF^{2}+DF^{2}}=\sqrt{24^{2}+32^{2}}=40$.
$\therefore\sin\angle DBF=\frac{DF}{BD}=\frac{32}{40}=\frac{4}{5}$.
$\therefore\sin\alpha=\frac{4}{5}$.
由题意，得$n=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{4}{3}.\therefore\sin\beta=\frac{3}{5}$.
在$Rt\triangle CDH$中，$\sin\beta=\frac{CH}{CD}$.
$\therefore\frac{CH}{CD}=\frac{3}{5}$.
设$CH = 3x\ cm$，则$CD = 5x\ cm$.
由勾股定理，得$DH=\sqrt{CD^{2}-CH^{2}}=4x(cm)$.
$\therefore 4x = 24$.
解得$x = 6$.
$\therefore CH = 18\ cm$.
$\therefore BC = BH - CH = 14\ cm$.
因此光斑移动的距离$BC$是$14\ cm$.