《2025年名校作业九年级数学下册北师大版》

1. 如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为点A，B. 若∠APB = 60°，PA = 8，则弦AB的长是（ ）

A. 4
B. 4√3
C. 8
D. 8√3

答案： C 解析：
∵PA，PB为⊙O的切线，
∴PA = PB.
∵∠APB = 60°，
∴△APB为等边三角形.
∴AB = PA = 8.

2. 【教材P96习题T1变式】如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，CD切⊙O于点E. 若△PCD的周长为12，则PA的长为________.

答案： 6 解析：
∵PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，
∴PA = PB，CA = CE，DB = DE.
∵△PCD的周长为PC + CE + DE + PD = PC + CA + DB + PD = PA + PB = 2PA = 12，
∴PA = 6.

3. 如图，BC是⊙O的直径，直线l是过点C的切线，N是⊙O上一点，连接BN并延长，交l于点M，过点N的切线交l于点P，连接CN. 求证：PM = PN.

答案： 证明：
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BNC = 90°.
∴∠CNM = 90°.
∴∠PCN + ∠PMN = 90°，∠PNC + ∠PNM = 90°.
∵PC，PN是⊙O的切线，
∴PC = PN.
∴∠PCN = ∠PNC.
∴∠PMN = ∠PNM.
∴PM = PN.

4. 如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，AB = 10，CD = 15，则四边形ABCD的周长为（ ）

A. 60
B. 55
C. 45
D. 50

答案：
D 解析：如图：

∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，
∴AE = AF，BE = BG，CG = CH，DH = DF.
∴AD + BC = AF + DF + BG + CG = AE + DH + BE + CH = AB + CD = 10 + 15 = 25.
∴四边形ABCD的周长为AD + BC + AB + CD = 25 + 10 + 15 = 50.

5. 如图，正方形ABCD的边长为4 cm，以BC为直径在正方形ABCD内作半圆O，过点A作半圆O的切线，切点为点F，与DC交于点E，则△ADE的面积为________cm².

答案： 6 解析：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB = CD = AD = 4 cm，∠D = 90°.
∵AB，AE，DC与半圆O分别相切于点B，F，C，
∴AF = AB = 4 cm，EF = EC.
设EF = EC = x cm，则DE = (4 - x)cm，AE = (4 + x)cm.
在Rt△ADE中，DE² + AD² = AE²，即(4 - x)² + 4² = (4 + x)²，
解得x = 1.
∴DE = 4 - 1 = 3(cm).
∴S_{△ADE} = \frac{1}{2}AD·DE = \frac{1}{2}×4×3 = 6(cm²).

6. 如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，PO的延长线交⊙O于点C，连接BC，OA. 若OA = 3，PA = 4，求tan∠PCB的值.

答案：
证明：如图，连接OB，过点B作BE⊥PC于点E.

∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴PB = PA = 4，OA⊥PA，OB⊥PB.
在Rt△POA中，PO = \sqrt{OA² + PA²} = \sqrt{3² + 4²} = 5.
∵S_{△POB} = \frac{1}{2}PO·BE = \frac{1}{2}OB·PB，OB = OA = 3，
∴BE = \frac{OB·PB}{PO} = \frac{12}{5}.
∴OE = \sqrt{OB² - BE²} = \sqrt{3² - (\frac{12}{5})²} = \frac{9}{5}.
∵OC = OA = 3，
∴CE = OC + OE = \frac{24}{5}.
∴tan∠PCB = \frac{BE}{CE} = \frac{1}{2}.

7. 如图，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，C为DE的延长线上一点，且CE = CB.
（1）求证：BC是⊙O的切线.
（2）若⊙O的半径为√5，AD = 2，求线段CE的长.

答案：

(1)证明：如图①，连接OE，OC.

∵DE与⊙O相切，
∴OE⊥DE.
∴∠OEC = 90°.
∵CB = CE，OB = OE，OC = OC，
∴△OBC≌△OEC.
∴∠OBC = ∠OEC = 90°.
又
∵OB是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线.
(2)解：如图②，过点D作DF⊥BC于点F.
易得四边形ADFB是矩形，
∴DF = AB = 2OB = 2\sqrt{5}，BF = AD = 2.
∵AD，CD分别与⊙O相切，
∴DE = AD = 2.
设CE = CB = x，则CF = CB - BF = x - 2，CD = CE + DE = x + 2.
在Rt△DFC中，CD² - CF² = DF²，
即(x + 2)² - (x - 2)² = (2\sqrt{5})²，解得x = \frac{5}{2}.
∴CE = \frac{5}{2}.