《2025年名校作业九年级数学下册北师大版》

1. 把二次函数$y=-x^{2}+4x-2$用配方法化为$y=a(x - h)^{2}+k$的形式是（ ）
A. $y=-(x + 2)^{2}+2$
B. $y=-(x - 2)^{2}+2$
C. $y=-(x - 2)^{2}-2$
D. $y=-(x + 2)^{2}-6$

答案： B

2. 二次函数$y=-3x^{2}+6x+2$的图象的对称轴是（ ）
A. 直线$x = 2$
B. 直线$x = -2$
C. 直线$x = 1$
D. 直线$x = -1$

答案： C 解析：y = -3x² + 6x + 2 = -3(x² - 2x) + 2 = -3(x² - 2x + 1) + 3 + 2 = -3(x - 1)² + 5.所以图象的对称轴是直线x = 1.

3. 二次函数$y=-x^{2}-6x-7$的图象的顶点坐标是（ ）
A. $(2,3)$
B. $(-3,2)$
C. $(-3,-2)$
D. $(3,-2)$

答案： B 解析：y = -x² - 6x - 7 = -(x² + 6x) - 7 = -(x² + 6x + 9) + 9 - 7 = -(x + 3)² + 2.所以图象的顶点坐标是(-3, 2).

4. 关于二次函数$y=-x^{2}-2x+3$，下列说法正确的是（ ）
A. 图象与$y$轴的交点坐标为$(0,-3)$
B. 图象的对称轴为直线$x = 1$
C. 当$x ＞ -1$时，$y$的值随$x$值的增大而减小
D. $y$有最大值3

答案： C 解析：将x = 0代入y = -x² - 2x + 3，得y = 3，
∴抛物线与y轴的交点坐标为(0, 3).
∵y = -x² - 2x + 3 = -(x + 1)² + 4，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x = -1，顶点坐标为(-1, 4).
∴当x ＞ -1时，y的值随x值的增大而减小，函数有最大值4.

5. 将抛物线$y=x^{2}-4x-4$向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的表达式为__________.

答案： y = (x + 1)² - 6 解析：
∵y = x² - 4x - 4 = (x - 2)² - 8，
∴将抛物线y = x² - 4x - 4向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的表达式为y = (x - 2 + 3)² - 8 + 2 = (x + 1)² - 6.

6. 已知抛物线$y=-\frac{1}{2}x^{2}+x+4$.
(1)试确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴.
(2)该抛物线是由抛物线$y=-\frac{1}{2}x^{2}$经过怎样的平移得到的?
(3)当$x$取何值时，$y$的值随$x$值的增大而增大？当$x$取何值时，$y$的值随$x$值的增大而减小?

答案： 解：
(1)
∵y = -$\frac{1}{2}$x² + x + 4 = -$\frac{1}{2}$(x - 1)² + $\frac{9}{2}$，
∴抛物线的开口向下，顶点坐标为(1, $\frac{9}{2}$)，对称轴为直线x = 1.
(2)由抛物线y = -$\frac{1}{2}$x²先向右平移1个单位长度，再向上平移$\frac{9}{2}$个单位长度得到.
(3)当x ＜ 1时，y的值随x值的增大而增大；当x ＞ 1时，y的值随x值的增大而减小.

7. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线$y=x^{2}-2x-3$的顶点为$A$，与$y$轴交于点$C$，线段$CB// x$轴，交该抛物线于另一点$B$.
(1)抛物线的对称轴是直线____________；
(2)求点$B$的坐标；
(3)点$P$为抛物线上一点，若$S_{\triangle PBC}=2S_{\triangle ABC}$，求点$P$的坐标.

答案： 解：
(1)x = 1
(2)当x = 0时，y = -3，
∴C(0, -3).
∵CB//x轴，抛物线的对称轴是直线x = 1，
∴B(2, -3).
(3)y = x² - 2x - 3 = (x - 1)² - 4，
∴A(1, -4).
∵BC//x轴，且B，C的纵坐标均为 -3，
∴点A到BC的距离为 -3 - (-4) = 1.
∵S△PBC = 2S△ABC，
∴点P到BC的距离为2.
∴点P的纵坐标为 -1.当y = -1时，x² - 2x - 3 = -1，解得x = 1 + $\sqrt{3}$，x = 1 - $\sqrt{3}$，
∴点P的坐标为(1 + $\sqrt{3}$, -1)或(1 - $\sqrt{3}$, -1).

8. “一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会燃放烟花. 当发射角度与水平面成$45^{\circ}$时，烟花距地面的高度$y$(米)与到发射点的水平距离$x$(米)满足关系式$y=-0.5x^{2}+4x+2$，则烟花可以达到的最大高度是________米.

答案： 10 解析：y = -0.5x² + 4x + 2 = -0.5(x - 4)² + 10，
∴当x = 4时，烟花可以达到最大高度，最大高度是10米.

9. 漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大小相等的抛物线形，桥拱如长虹出水，屹立于汾河之上，是太原市地标性建筑之一. 如图，桥面$OA$到水面$BC$的距离$OE=7$米，以桥面所在水平线为$x$轴，$OE$所在直线为$y$轴建立平面直角坐标系，若桥拱所在抛物线的函数表达式是$y=-0.01x^{2}+0.6x$，则桥拱最高点到水面的距离是__________米.

答案： 16 解析：
∵y = -0.01x² + 0.6x = -0.01(x - 30)² + 9，
∴当x = 30时，y取得最大值9.9 + 7 = 16(米)，
∴桥拱最高点到水面的距离是16米.