《2025年名校作业九年级数学下册北师大版》

1.【教材P48习题T3】如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长是8 m，宽是2 m，抛物线可以用$y=-\frac{1}{4}x^{2}+4$表示.
　(1)一辆货运卡车高4 m，宽2 m，它能通过该隧道吗？
　(2)如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货运卡车是否可以通过？
　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1)当$x = \pm\frac{2}{2}$时，$y = -\frac{1}{4}+4 = 3.75$。
因为$3.75 + 2＞4$，所以卡车能通过该隧道。
(2)当$x = \pm2$时，$y = -\frac{1}{4}\times4 + 4 = 3$。
因为$3 + 2＞4$，所以卡车可以通过该隧道。

2.如图，隧道的截面由抛物线和矩形OABC构成.在平面直角坐标系中，抛物线可以用$y=-\frac{1}{6}x^{2}+2x+4$表示.现需要在抛物线型拱壁上安装两排灯，如果灯离地面的高度为8 m，那么两排灯的水平距离为　　　　　　　　　　(　　　)

A. 2 m
B. 4 m
C. $4\sqrt{2}$ m
D. $4\sqrt{3}$ m

答案： D 解析 令$-\frac{1}{6}x^{2}+2x + 4 = 8$，解得$x_{1}=2\sqrt{3}+6$，$x_{2}=-2\sqrt{3}+6$。
$\therefore x_{1}-x_{2}=4\sqrt{3}$，即两排灯的水平距离为$4\sqrt{3}\ m$。

3.如图①为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分.如图②，棚顶的竖直高度y(单位:m)与到停车棚支柱OA的水平距离x(单位:m)近似满足函数关系$y=-0.02x^{2}+0.3x+1.6$，点B(6,2.68)为车棚边沿.若一辆厢式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD = 4 m，高DE = 1.8 m的矩形，那么这辆货车能完全停到车棚内吗？
　　　　　　

答案： 解：假设这辆货车刚好能停到车棚内。
$\because CD = 4\ m$，$B(6,2.68)$，
$\therefore$点$C$的横坐标为$6 - 4 = 2$。
在$y = -0.02x^{2}+0.3x + 1.6$中，
当$x = 2$时，$y = -0.02\times2^{2}+0.3\times2 + 1.6 = 2.12$。
$\because 2.12＞1.8$，
$\therefore$这辆货车能完全停到车棚内。

4.如图，某校游泳馆的截面由抛物线的一部分和矩形组成，其中OA = 20米，AB = OC = 7米，最高点P到地面的距离为9米，以OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
　　　(1)求抛物线的表达式；
　　　(2)学校计划在体育周举行游泳比赛，体育老师设计了6米长的竖状条幅从顶棚抛物线部分悬挂下来(条幅的宽度忽略不计)，为了安全起见，条幅最低处至少位于地面上方2米，求条幅与OC的水平距离的范围.
　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1)由题意，得顶点$P(10,9)$，$C(0,7)$。
设抛物线的表达式为$y = a(x - 10)^{2}+9$。
将$C(0,7)$代入，得$100a + 9 = 7$。
解得$a = -0.02$。
$\therefore$抛物线的表达式为$y = -0.02(x - 10)^{2}+9$。
(2)令$y = 6 + 2 = 8$，则$-0.02(x - 10)^{2}+9 = 8$，
解得$x_{1}=10 + 5\sqrt{2}$，$x_{2}=10 - 5\sqrt{2}$。
因此，条幅与$OC$的水平距离的范围为$(10 - 5\sqrt{2})$米~$(10 + 5\sqrt{2})$米。