《2025年名校作业九年级数学下册北师大版》

9. 如图，两个同心圆的半径分别为3，5，若直线l与大圆O交于点A，B，AB = 6，则直线l与小圆O的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 无法确定
　　　

答案：
C 解析：如图，连接$OA$，过点$O$作$OC\perp AB$于点$C$，则$AC=\frac{1}{2}AB = 3$。

$\therefore OC=\sqrt{OA^{2}-AC^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$。
$\because$小圆$O$的半径为$3$，且$3 ＜ 4$，
$\therefore$直线$l$与小圆$O$的位置关系是相离。

10. 如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切于D，E两点，则⊙O的半径为（ ）
A. 2$\sqrt{3}$ B. 3 C. 4 D. 4 - $\sqrt{3}$
　　　

答案：
A 解析：如图，连接$OD$，$OE$。

$\because AB$，$AC$与$\odot O$相切，$\therefore OD\perp AB$，$OE\perp AC$。
$\therefore \angle ODB=\angle OEC = 90^{\circ}$。
$\because \triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore \angle B=\angle C = 60^{\circ}$。
又$\because OD = OE$，$\therefore \triangle ODB\cong\triangle OEC$。
$\therefore OB = OC=\frac{1}{2}BC = 4$。
在$Rt\triangle OEC$中，$OE = OC\sin C = 4\times\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$。

11. 如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC长为半径的⊙O与AB相切于点B，与OA相交于点D，连接BD，则∠CBD的度数为（ ）
A. 135° B. 120° C. 112.5° D. 105.5°
　　　　　　　

答案：
C 解析：如图，连接$OB$。

$\because AB$是$\odot O$的切线，
$\therefore OB\perp AB$。
$\because$四边形$OABC$是平行四边形，
$\therefore OC// AB$，$OA// BC$。
$\therefore OB\perp OC$。
$\therefore \angle BOC = 90^{\circ}$。
$\because OB = OC$，
$\therefore \angle OCB=\angle OBC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BOC)=45^{\circ}$。
$\because OA// BC$，
$\therefore \angle AOB=\angle OBC = 45^{\circ}$。
$\because OB = OD$，
$\therefore \angle OBD=\angle ODB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle AOB)=67.5^{\circ}$。
$\therefore \angle CBD=\angle OBC+\angle OBD = 112.5^{\circ}$。

12. 如图，△ABC为⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BO的延长线于点P. 若∠P = 28°，则∠BAC的度数为__________.
　　

答案：
$121^{\circ}$ 解析：如图，设$\odot O$与$OP$交于点$E$，连接$OC$，$CE$。

$\because CP$为$\odot O$的切线，
$\therefore OC\perp CP$。
$\therefore \angle OCP = 90^{\circ}$。
$\therefore \angle COP = 90^{\circ}-\angle P = 90^{\circ}-28^{\circ}=62^{\circ}$。
$\because OC = OE$，
$\therefore \angle OEC=\angle OCE=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle COP)=59^{\circ}$。
$\because$四边形$ABEC$为$\odot O$的内接四边形，
$\therefore \angle BAC+\angle OEC = 180^{\circ}$。
$\therefore \angle BAC = 180^{\circ}-\angle OEC = 121^{\circ}$。

13. 如图，在Rt△AOB中，∠AOB = 90°，OA = OB = 4$\sqrt{2}$，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ的最小值为__________.

答案：
$2\sqrt{3}$ 解析：如图，连接$OQ$。

$\because PQ$与$\odot O$相切，$\therefore OQ\perp PQ$。
$\therefore \angle OQP = 90^{\circ}$。
$\therefore PQ=\sqrt{OP^{2}-OQ^{2}}=\sqrt{OP^{2}-2^{2}}$。
要使$PQ$取得最小值，则$OP$应取得最小值。
当$OP\perp AB$时，$OP$最小，此时$OP = OB\sin B$。
$\because OA = OB$，
$\therefore \angle B=\angle A=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle AOB)=45^{\circ}$。
$\therefore OP = 4\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=4$。
$\therefore PQ$的最小值为$\sqrt{4^{2}-2^{2}}=2\sqrt{3}$。

14. 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，且AD平分∠BAC，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E.
（1）求证：BC//DE.
（2）若cosE = $\frac{4}{5}$，BC = 12，求AB的长.
　　　　　　　　　　　

答案：

(1)证明：如图，连接$OD$。

$\because DE$是$\odot O$的切线，
$\therefore OD\perp DE$。
$\because AD$平分$\angle BAC$，
$\therefore \angle CAD=\angle BAD$。
$\because OA = OD$，
$\therefore \angle ADO=\angle BAD$。
$\therefore \angle CAD=\angle ADO$。
$\therefore OD// AC$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore \angle C = 90^{\circ}$，即$AC\perp BC$。
$\therefore OD\perp BC$。
又$\because OD\perp DE$，
$\therefore BC// DE$。
(2)解：$\because BC// DE$，
$\therefore \angle ABC=\angle E$。
$\therefore \cos\angle ABC=\cos E=\frac{4}{5}$。
在$Rt\triangle ABC$中，$AB=\frac{BC}{\cos\angle ABC}=\frac{12}{\frac{4}{5}} = 15$。

15. 如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥BC，垂足为点E.
（1）求证：BA = BC.
（2）若DE = 3，AC = 6$\sqrt{10}$，求⊙O的半径.
　　　　　　　　　　

答案：

(1)证明：如图，连接$OD$。
$\because DE$是$\odot O$的切线，$\therefore OD\perp DE$。
$\because DE\perp BC$，$\therefore OD// BC$。
$\therefore \angle ADO=\angle C$。
$\because OA = OD$，$\therefore \angle A=\angle ADO$。
$\therefore \angle A=\angle C$。$\therefore BA = BC$。

(2)解：如图，连接$BD$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore \angle ADB = 90^{\circ}$。$\therefore BD\perp AC$。
$\because BA = BC$，
$\therefore AD = CD=\frac{1}{2}AC = 3\sqrt{10}$。
$\because DE\perp BC$，$\therefore \angle CED = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle DEC$中，$CE=\sqrt{CD^{2}-DE^{2}}=\sqrt{(3\sqrt{10})^{2}-3^{2}} = 9$。
$\because \angle ADB=\angle CED = 90^{\circ}$，$\angle A=\angle C$，
$\therefore \triangle ADB\sim\triangle CED$。$\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{AD}{CE}$。
$\therefore AB=\frac{CD\cdot AD}{CE}=\frac{3\sqrt{10}\times3\sqrt{10}}{9}=10$。
$\therefore \odot O$的半径为$5$。