《2025年名校作业九年级数学下册北师大版》

9. 如图,线段AB表示一信号塔,DE表示一斜坡,DC⊥BC,CD = 36m,点A,B,C,D,E在同一平面内. 某人站在D处测得塔顶A处的仰角为37°,站在C处测得塔顶A处的仰角为48°(人的身高忽略不计).求信号塔AB的高度.(结果精确到1m;参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75,sin48°≈0.74,cos48°≈0.67,tan48°≈1.1)
　　　　　　　　　　

答案：
解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，则∠AFD = 90°，BF = CD = 36 m，DF = BC。

设AB = x m，则AF = AB - BF = (x - 36)m。
根据题意，得∠B = 90°，∠ADF = 37°，∠ACB = 48°。
在Rt△ABC中，BC = $\frac{AB}{tan\angle ACB}=\frac{x}{tan48°}$。
在Rt△ADF中，DF = $\frac{AF}{tan\angle ADF}=\frac{x - 36}{tan37°}$。
∴$\frac{x}{tan48°}=\frac{x - 36}{tan37°}$，解得x≈113。
因此，信号塔AB的高度约为113 m。

10. 为增强民众生活幸福感,某社区服务队在休闲活动场所的墙上安装了如图①所示的遮阳棚,方便居民使用. 如图②是其侧面示意图,遮阳棚BC长4m,与水平线的夹角为30°,且靠墙端离地的高AB为5m,当太阳光线CD与地面AD的夹角为67°时,求AD的长.(结果精确到0.1m;参考数据:$\sqrt{3}$≈1.73,sin67°≈$\frac{12}{13}$,cos67°≈$\frac{5}{13}$,tan67°≈$\frac{12}{5}$)
　　　　　

答案：
解：如图，过点C分别作CE⊥AB于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，则∠CEB = ∠CFD = 90°，CF = AE，AF = CE。

在Rt△BCE中，BE = $\frac{1}{2}BC = 2$m，CE = BCcos∠BCE = 4cos30°≈3.46(m)。
∴AE = AB - BE = 5 - 2 = 3(m)，AF≈3.46 m。
∴CF = 3 m。
在Rt△CDF中，DF = $\frac{CF}{tan\angle CDF}=\frac{3}{tan67°}\approx1.25$(m)。
∴AD = AF - DF≈2.2 m。
∴AD的长约为2.2 m。

11. 图①是一种淋浴喷头,图②是其简化示意图,用支架把喷头固定在点A处,手柄长AB = 25cm,AB与墙壁DD'的夹角∠D'AB = 37°,喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC = 72°.现在住户要求:当人站在与墙壁DD'距离为50cm的E处淋浴时,水流正好喷洒在人体的C处,CE = 130cm. 问:安装师傅应将喷头固定在离地面多高的位置?(结果精确到1cm;参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75,sin55°≈0.82,cos55°≈0.57,tan55°≈1.43)
　　　　　　　　

答案：
解：如图，过点B作BG⊥D'D于点G，延长EC，GB交于点F，则四边形DEFG是矩形，∠AGB = ∠F = 90°。

∴FG = DE = 50 cm，DG = EF。
∵∠BAG = 37°，
∴∠ABG = 90° - ∠BAG = 53°，AG = ABcos∠BAG = 25cos37°≈20(cm)，BG = ABsin∠BAG = 25sin37°≈15(cm)。
∴BF = FG - BG≈50 - 15 = 35(cm)。
∵∠ABC = 72°，
∴∠CBF = 180° - ∠ABG - ∠ABC = 55°。
∴CF = BFtan∠CBF≈35tan55°≈50.1(cm)。
∴EF = CF + CE≈50.1 + 130 = 180.1(cm)。
∴DG≈180.1 cm。
∴AD = DG - AG≈180.1 - 20≈160(cm)。
因此安装师傅应将喷头固定在离地面约160 cm的位置。