《2025年名校作业九年级数学下册北师大版》

1. 小丽设计了一种测量树高的方法：她将细线的一端固定在半圆形量角器的圆心B处，在细线另一端的C处系一个重物，制成了如图①所示的简单测角仪. 如图②，小丽站在离树5米的E处(EF = 5米)，调整测角仪位置，使视线沿测角仪的直径刚好到达树的最高点. 已知小丽的目高为$\frac{3}{2}$米(AE = $\frac{3}{2}$米)，此时∠ABC = 60°(如图③)，则树高HF为______米.(结果保留根号)

答案：
$\left(\frac{5\sqrt{3}}{3}+\frac{3}{2}\right)$ 解析 如图，过点A作$AG\perp HF$于点G，则$\angle AGH = 90^{\circ},GF = AE=\frac{3}{2},AG = EF = 5$.

根据题意，得$\angle AHG=\angle ABC = 60^{\circ}$.
$\therefore HG=\frac{AG}{\tan\angle AHG}=\frac{5}{\tan60^{\circ}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$.
$\therefore HF = HG + GF=\left(\frac{5\sqrt{3}}{3}+\frac{3}{2}\right)$米.

2. 如图，小文从居民楼AB的楼顶A处测得大厦CD顶部C的仰角是45°，大厦底部D的俯角是37°. 若两座建筑物之间的距离BD为70 m，则大厦CD的高度约为______m.(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)

答案：
122.5 解析 如图，过点A作$AE\perp CD$于点E.

由题意，得$AE = BD = 70,\angle CAE = 45^{\circ},\angle DAE = 37^{\circ}$.
在$Rt\triangle ACE$中，$CE = AE\tan\angle CAE = 70\tan45^{\circ}=70$.
在$Rt\triangle ADE$中，$DE = AE\tan\angle DAE = 70\tan37^{\circ}\approx52.5$.
$\therefore CD = DE + CE\approx122.5$ m.
因此，大厦CD的高度约为122.5 m.

3. “太阳照在桑干河上”是朔州市首个城市地标雕塑. 如图，小明在点D处用测角仪测得雕塑最高点A的仰角∠ADE = 40°，小华在他前方12 m的点F处测得雕塑最高点A的仰角∠AFE = 65°. 若测角仪CD的高度为1.5 m，则雕塑AB的高度约为______m.(结果保留整数；参考数据：sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1，sin40°≈0.6，cos40°≈0.8，tan40°≈0.8)

答案： 17 解析 由题意，得$\angle AED = 90^{\circ},BE = CD = 1.5$ m.
设$AE = x$ m.
在$Rt\triangle ADE$中，$DE=\frac{AE}{\tan\angle ADE}=\frac{x}{\tan40^{\circ}}$.
在$Rt\triangle AFE$中，$EF=\frac{AE}{\tan\angle AFE}=\frac{x}{\tan65^{\circ}}$.
$\because DE - EF = DF$，
$\therefore\frac{x}{\tan40^{\circ}}-\frac{x}{\tan65^{\circ}}=12$.
解得$x\approx15.5$.
$\therefore AB = AE + BE\approx15.5 + 1.5 = 17$(m).
因此，雕塑AB的高度约为17 m.

4. 《海岛算经》是我国古代测量术的代表作，原名《重差》，这本著作建立了从直接测量到间接测量的桥梁. 直至近代，重差测量法仍有借鉴意义. 如图，为测量海岛上一座山峰AH的高度，直立两根高度均为1米的标杆BC和DE，两杆间距BD为3米，D，B，H三点共线，从点B处退行到点F，发现A，C，F三点共线，且仰角为45°；从点D处退行到点G，发现A，E，G三点共线，且仰角为37°，求山峰AH的高度. (参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)

答案： 解：由题意，得$BC = DE = 1$米，$\angle AFH = 45^{\circ},\angle AGH = 37^{\circ},\angle CBF=\angle EDG = 90^{\circ}$.
在$Rt\triangle BCF$中，$BF=\frac{BC}{\tan\angle AFH}=\frac{1}{\tan45^{\circ}}=1$.
$\therefore DF = BD - BF = 3 - 1 = 2$.
在$Rt\triangle DEG$中，$DG=\frac{DE}{\tan\angle AGH}=\frac{1}{\tan37^{\circ}}\approx\frac{4}{3}$.
设$AH = x$，则$FH=\frac{AH}{\tan\angle AFH}=\frac{x}{\tan45^{\circ}}=x$，$HG=\frac{AH}{\tan\angle AGH}=\frac{x}{\tan37^{\circ}}\approx\frac{4}{3}x$.
$\because HG - DG - DF = FH$，
$\therefore\frac{4}{3}x-\frac{4}{3}-2\approx x$.
解得$x\approx10$.
因此，山峰AH的高度约为10 m.