《2025年名校作业九年级数学下册北师大版》

9. (本题15分)足球训练中球员从球门正前方8 m的A处射门,球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6 m时,球到达最高点,此时球离地面3 m.现以球门底部O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求抛物线的表达式;
(2)已知球门高OB为2.4 m,通过计算判断球能否射进球门.
　　　　　　　

答案： 解：
(1)由题意可知，该抛物线的顶点坐标为$(2,3)$，且经过点$(8,0)$.
设抛物线的表达式为$y = a(x - 2)^{2}+3$.
把点$A(8,0)$代入，得$36a+3 = 0$，
解得$a=-\frac{1}{12}$.
$\therefore$抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{12}(x - 2)^{2}+3$.
(2)当$x = 0$时，$y=-\frac{1}{12}\times4 + 3=\frac{8}{3}\gt2.4$.
因此，球不能射进球门.

10. (本题17分)【问题情境】小颖妈妈从花卉超市以15元/盆的进价购进某种盆栽花卉,为了确定售价,小颖帮妈妈调查了附近五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价$x$(元/盆)与日销售量$y$(盆)的情况,记录如下:
　
【模型建立】(1)求日销售量$y$与售价$x$之间的函数关系式.
【拓展应用】(2)根据以上信息,小颖妈妈在销售这种花卉时,
①要想每天获得400元的利润,应如何定价?
②当售价定为多少时,每天能够获得的利润最大?最大利润是多少?

答案： 解：
(1)观察表格可知日销售量$y$是关于售价$x$的一次函数.
设$y = kx + b$.
将$(18,54),(20,50)$代入，得$\begin{cases}18k + b = 54\\20k + b = 50\end{cases}$.
解得$\begin{cases}k=-2\\b = 90\end{cases}$.
$\therefore$日销售量$y$与售价$x$之间的函数关系式为$y=-2x + 90$.
(2)①由题意，得$(x - 15)(-2x + 90)=400$.
解得$x_{1}=25,x_{2}=35$.
$\therefore$要想每天获得400元的利润，应把售价定为25元/盆或35元/盆.
②设每天获得的利润为$w$元.
由题意，得$w=(x - 15)(-2x + 90)=-2x^{2}+120x - 1350=-2(x - 30)^{2}+450$.
$\therefore$当$x = 30$时，$w$取得最大值，为450.
因此，当售价定为30元/盆时，每天能够获得的利润最大，最大利润是450元.

11. (本题20分)某公司销售一批产品,销售额$y_{1}$(万元)与销售量$x$(吨)的函数关系式为$y_{1}=5x$;成本$y_{2}$(万元)与销售量$x$(吨)的函数图象是如图所示的抛物线的一部分,其中$(\frac{1}{2},\frac{7}{4})$是顶点.
(1)求成本$y_{2}$与销售量$x$的关系式;
(2)当成本最低时,销售产品所获利润是多少?
(3)当销售量是多少时,可获得最大利润?最大利润是多少?
　　　　　　　　

答案： 解：
(1)设成本$y_{2}$与销售量$x$的关系式为$y_{2}=a(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{7}{4}$.
把$(2,4)$代入，得$\frac{9}{4}a+\frac{7}{4}=4$，解得$a = 1$.
$\therefore$成本$y_{2}$与销售量$x$的关系式为$y_{2}=(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{7}{4}$.
(2)由题意，当销售量$x=\frac{1}{2}$时，成本最低，为$\frac{7}{4}$.
当$x=\frac{1}{2}$时，销售额$y_{1}=5x=5\times\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$.
$\therefore$此时利润为$\frac{5}{2}-\frac{7}{4}=\frac{3}{4}$(万元).
因此，当成本最低时，销售产品所获利润是$\frac{3}{4}$万元.
(3)设销售产品所获利润是$w$元.
由题意，得$w=y_{1}-y_{2}=5x-[(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{7}{4}]=-x^{2}+6x - 2=-(x - 3)^{2}+7$.
$\therefore$当$x = 3$时，$w$取得最大值，为7.
因此，当销售量是3吨时，可获得最大利润，最大利润是7万元.