《2025年名校作业九年级数学下册北师大版》

1. 下列图象中，是二次函数$y = x^{2}$的图象的是（ ）
　　
　　　

答案： A

2. 下列关于二次函数$y = -x^{2}$的图象的说法错误的是（ ）
A. 开口向下
B. 对称轴是$y$轴
C. 顶点是原点
D. 经过第一、二象限

答案： D

3. 已知二次函数$y = -x^{2}$.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象.
(2)当$x ＜ 0$时，$y$的值随$x$值的增大而______；当$x ＞ 0$时，$y$的值随$x$值的增大而______.
(3)结合图象可知：当$-2 ＜ x ＜ 1$时，函数值$y$的取值范围是______.
　　　

答案：
解：
(1)如图所示:
(2)增大 减小
(3)$-4 ＜ y\leqslant0$

4. 已知点$(1,y_{1}),(2,y_{2})$都在函数$y = x^{2}$的图象上，则（ ）
A. $y_{1} ＞ y_{2} ＞ 0$
B. $y_{2} ＞ y_{1} ＞ 0$
C. $y_{1} ＜ y_{2} ＜ 0$
D. $y_{2} ＜ y_{1} ＜ 0$

答案： B

【变式一 点在对称轴同侧变为异侧】已知抛物线$y = x^{2}$过$A(-2,y_{1}),B(1,y_{2})$两点，则（ ）
A. $y_{1} ＞ 0 ＞ y_{2}$
B. $y_{2} ＞ 0 ＞ y_{1}$
C. $y_{1} ＞ y_{2} ＞ 0$
D. $y_{2} ＞ y_{1} ＞ 0$

答案： C

【变式二 比较函数值变为比较自变量】已知抛物线$y = x^{2}$的对称轴右侧有$A(x_{1},2),B(x_{2},1)$两点，则（ ）
A. $x_{1} ＞ 0 ＞ x_{2}$
B. $x_{2} ＞ 0 ＞ x_{1}$
C. $x_{1} ＞ x_{2} ＞ 0$
D. $x_{2} ＞ x_{1} ＞ 0$

答案： C

5. 如图，以点$O$为圆心，$2$为半径的圆与抛物线$y = x^{2},y = -x^{2}$相交，则阴影部分的面积为______.
　　　　　　　　　　　

答案： $2\pi$

6. 如图，$A,B$分别为抛物线$y = x^{2}$上的两点，且$AB\bot y$轴，$AB = 6$.
(1)求点$A,B$的坐标；
(2)若点$C$在抛物线$y = x^{2}$上，且$\triangle ABC$的面积为$3$，求点$C$的坐标.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1)$\because$抛物线$y = x^{2}$的对称轴为$y$轴，$AB\perp y$轴，$\therefore$点$A$与点$B$关于$y$轴对称. $\because AB = 6$，$\therefore$点$A$的横坐标为$-3$，点$B$的横坐标为$3$. 当$x = \pm3$时，$y = 9$. $\therefore A(-3,9)$，$B(3,9)$.
(2)设$\triangle ABC$的边$AB$上的高为$h$. $\because S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot h = 3h = 3$，$\therefore h = 1$. $\therefore$点$C$的纵坐标为$9 - 1 = 8$或$9 + 1 = 10$. 将$y = 8$代入$y = x^{2}$，得$x^{2}=8$，解得$x = \pm2\sqrt{2}$. 将$y = 10$代入$y = x^{2}$，得$x^{2}=10$，解得$x = \pm\sqrt{10}$. 所以点$C$的坐标为$(2\sqrt{2},8)$或$(-2\sqrt{2},8)$或$(\sqrt{10},10)$或$(-\sqrt{10},10)$.